Plissage des variétés hyperboliques

de dimension 3

Cyril LECUIRE Mars 2002, révisé février 2004

Abstract : We give a characterization of the measured geodesic laminations which can occur as the bending measured lamination of any geometrically finite metric on a 3-manifold. When the 3manifold has incompressible boundary, such a characterization has already been given by F. Bonahon and J.-P. Otal. Here we deal with the general case..

1 Introduction

1.1 Application de plissage des variétés hyperboliques

Nous dirons d’une variété différentielle M qu’elle est hyperbolique si son intérieur admet une métrique riemannienne complète de courbure sectionnelle −1. Si M est une variété de dimension 3, compacte, à bord, alors d’après le théorème d’hyperbolisation de Thurston, M est hyperbolique si et seulement si elle est irréductible et atoroïdale. Dans la suite, nous allons considérer une variété M de dimension 3, compacte, orientable et hyperbolique, mais nous exclurons les cas où M est homéomorphe à un tore solide D × S^{1} ou à un tore épaissi T × [0, 1].

Un objet important dans l’étude d’une métrique hyperbolique complètes σ sur l’intérieur de M est son coeur convexe N(σ) qui est le plus petit fermé non vide et convexe pour la métrique σ. Dans cet article, nous allons considérer les métriques sur l’intérieur de M à isotopie prés. Deux métriques σ_{1} et σ_{2} sur l’intérieur de M sont dites isotopes s’il existe un difféomorphisme f : M → M isotope à l’identité et tel que σ_{2} = f^{∗}σ_{1}. Si σ_{1} et σ_{2} sont isotopes, alors f_{|N(σ_{1})} : N(σ_{1}) → N(σ_{2}) est une isométrie. Il est donc légitime de parler du coeur convexe N(σ) d’une métrique hyperbolique σ définie à isotopie près. Lorsque N(σ) a un volume fini, la métrique σ est dite géométriquement finie. Dans ce cas le bord de N(σ) est homéomorphe à la réunion ∂_{χ<0}M des composantes de ∂M de caractéristique d’Euler strictement négative de laquelle ont été otées des courbes simples correspondant aux pointes de rang 1 de σ. L’étude de ∂N(σ) a débuté dans [Th1] ; W. Thurston y explique notamment qu’une lamination géodésique mesurée - appelée lamination géodésique mesurée de plissage de σ - décrit la manière dont cette surface ∂N(σ) est plissée.

Si au moins une composante de ∂M a une caractéristique d’Euler strictement négative, la théorie d’Ahlfors-Bers montre que l’intérieur de M admet beaucoup de métriques hyperboliques géométriquement finies. Dans le cas contraire, ∂M est composé uniquement de tores et d’après le théorème de rigidité de Mostow, l’intérieur de M admet une unique (à isotopie près) métrique hyperbolique géométriquement finie. Dans la suite, on se restreindra au cas où ∂M possède au moins une composante de caractéristique d’Euler strictement négative. Si GF(M) est l’espace des classes d’isotopie de métriques géométriquement finies sur l’intérieur de M, on a alors une application GF(M) → ML(∂M) qui à une métrique géométriquement finie associe sa lamination géodésique mesurée de plissage ; c’est l’application de plissage de M. La continuité et la différentiabilité de cette application ont été étudiées dans [KeS] et [Bo4]. Cet article est consacré à la description intrinsèque de l’image de cette application.

Dans [BoO], F. Bonahon et J.-P. Otal ont posé le problème suivant : quelles laminations mesurées peuvent apparaître comme lamination de plissage d’une métrique géométriquement finie ? Ils ont répondu à cette question lorsque l’une des deux hypothèses suivantes est satisfaite :

– le support de λ est une multi-courbe ;

– ∂M est incompressible.

Dans cet article, nous donnons une réponse complète à cette question, par le théorème suivant :

Théorème 1. Soient M une variété hyperbolique compacte, orientable de dimension 3 et λ ∈ ML(∂M) une lamination géodésique mesurée sur son bord. Il existe sur l’intérieur de M une métrique hyperbolique géométriquement finie non-fuchsienne σ dont λ est la lamination géodésique mesurée de plissage si et seulement si les conditions suivantes sont réalisées :

– a) toute feuille fermée de λ a un poids inférieur ou égal à π;

– b) l’intersection des adhérences dans \overline{M̃} de deux composantes connexes du complémentaire de p^{−1}(λ) dans ∂M̃ est soit vide, soit l’adhérence d’une feuille l̃⊂ p^{−1}(λ) dont la projection sur ∂M est une feuille fermée l;

– c) i(λ, ∂D) > 2π pour tout disque essentiel D.

On notera P(M) l’ensemble des laminations géodésiques de ML(∂M) qui vérifient les conditions a), b) et c).

Dans cet énoncé, M̃ désigne le revêtement universel de M̃ et p : M̃ → M la projection du revêtement. On compactifie M̃ de la manière suivante : munissons M d’une métrique hyperbolique géométriquement finie σ dont toutes les pointes sont des pointes de rang 2 (l’existence d’une telle métrique est assurée par le théorème d’hyperbolisation de Thurston et par le théorème de chirurgie de Dehn hyperbolique, cf. [Th1]) et notons N(σ)^{ep} le complémentaire dans N(σ) de voisinages des pointes de σ. Choisissons une isométrie entre le revêtement universel de l’intérieur de M et ℍ^{3}, elle nous permet de considérer Ñ(σ)^{ep} comme un fermé non compact de ℍ^{3}. Comme σ est géométriquement finie, il existe un homéomorphisme naturel entre M et N(σ)^{ep} qui nous permet maintenant d’interpréter M̃ comme un fermé de ℍ^{3}. La compactification \overline{M̃} de M̃ est l’adhérence de ce fermé dans la compactification usuelle de ℍ^{3} par la boule unité. Si l’on remplace la métrique σ par une autre métrique σ′ dont les pointes sont des pointes de rang 2, les deux compactifications ainsi obtenues sont homéomorphes, cette définition est donc indépendante de la métrique choisie.

La condition c) vient de la formule de Gauss-Bonnet appliquée à un disque essentiel (cf. [BoO]). Lorsque λ est la lamination géodésique mesurée de plissage d’une métrique géométriquement finie non-fuchsienne, les composantes de ∂M̃ − p^{−1}(λ) sont les faces du bord du convexe N(ρ). La condition b) garantit que les composantes du complémentaire de λ se comportent sur M̃ comme les faces d’un tel convexe. Comme on le verra dans la section 3, on peut remplacer cette condition par l’une des conditions suivantes :

- b_{1}) la lamination géodésique λ est \underline{anannulaire} : c’est-à-dire que λ intersecte transversalement toute courbe simple fermée qui peut être homotopée dans un tore de ∂M et toute paire (l_{1}, l_{2}) de géodésiques simples (éventuellement confondues) de ∂M dont des relevés distincts à ∂M̃ ont les deux mêmes bouts.

- b_{2}) ∃η > 0 tel que, pour tout anneau essentiel a, i(∂a, λ) ≥ η.

La condition b_{1}) est analogue à la condition 2’) du théorème 1 de [BoO]. D’après la remarque qui suit, si λ est une multi-courbe pondérée, la condition b_{2}) est équivalente à la condition 2 du théorème 2 de [BoO]. Le lien entre ces deux conditions b_{1}) et b_{2}) vient du fait que les laminations annulaires apparaissent souvent comme limites géométriques de bords d’anneaux (cf. appendice C).

Remarque. Comme M est orientable, si A est un ruban de Möbius proprement plongé ; alors il existe une voisinage V(∂A) de son bord tel que ∂V(∂A) borde un anneau essentiel et on a donc i(∂A, λ) ≥ \frac{η}{2}.

Ce théorème fournit une description complète de l’image de l’application de plissage. Si M est un bretzel, c’est-à-dire une somme connexe le long du bord de tores solides D × S^{1}, pour obtenir l’image de l’application de plissage, il suffit d’ajouter aux laminations géodésiques mesurée de P(M), les laminations géodésiques mesurées de plissages des métriques fuchsiennes. A une métrique fuchsienne est associée un homéomorphisme entre M et un fibré en intervalles, éventuellement tordu, sur une surface compacte Σ à bord non vide. Le lieu de plissage est alors une section du fibré au-dessus de ∂Σ, chaque feuille étant munie d’une mesure de poids π. Si M n’est pas un bretzel, l’image de l’application de plissage est P(M).

1.2 Esquisse de la preuve du théorème 1

Après avoir présenté quelques définitions, nous décrirons quelques propriétés de nature topologique de P(M). Nous montrerons en particulier que la lamination géodésique mesurée de plissage d’une métrique géométriquement finie sur l’intérieur de M appartient à P(M) et que, dans la définition de P(M), on peut remplacer la condition b) par les conditions b_{1}) ou b_{2}) ci-dessus. Ceci occupe les sections 2 et 3, quelques preuves étant reportées à l’appendice C.

Afin de montrer que ces nouvelles conditions sont suffisantes, nous allons ensuite construire, pour une lamination géodésique mesurée λ ⊂ P(M) donnée, une métrique sur l’intérieur de M dont elle est la lamination géodésique mesurée de plissage. Pour cette construction, nous suivrons la stratégie de la preuve du théorème 1 de [BoO]. Néanmoins, l’hypothèse “∂M est incompressible” joue plusieurs fois un rôle essentiel dans [BoO]. Pour nous affranchir de cette hypothèse, nous allons utiliser des arguments différents de ceux de [BoO] (en particulier un résultat récent de [KlS] et un lemme d’approximation des courbes “légèrement plissées”).

L’élément principal de cette stratégie de [BoO] est le suivant. On considère une suite (σ_{n}) de métriques géométriquement finies dont les laminations mesurées de plissage (λ_{n}) sont des multi-courbes pondérées qui convergent (en un sens qui sera défini par la suite) vers λ. Alors il existe une suite extraite de (σ_{n}) qui converge algébriquement vers une métrique géométriquement finie σ_{∞} dont λ est la lamination géodésique mesurée de plissage. La preuve de ce résultat (nommé lemme de fermeture) est divisée en deux étapes qui occupent la section 4.

La première étape consiste à prouver l’existence de la métrique σ_{∞}. Pour cela, on commencera par montrer que la suite (l_{σ_{n}}(λ_{n})) des longueurs des laminations géodésiques mesurées λ_{n} est bornée, puis on raisonnera par l’absurde. Supposons que (σ_{n}) n’ait pas de valeur d’adhérence pour la topologie algébrique ; d’après la théorie de J. Morgan et P.B. Shalen ([MoS1]), une suite extraite de (σ_{n}) (que pour simplifier nous noterons aussi (σ_{n})) tend vers une action minimale, à petits stabilisateurs d’arêtes de π_{1}(M) sur un arbre réel A. Soit ∂^{j}M une composante connexe de ∂_{χ<0}M ; grace à l’application i_{∗} : π_{1}(∂^{j}M) → π_{1}(M) induite par l’inclusion, on a une action de π_{1}(∂^{j}M) sur A. Si ∂^{j}M est incompressible, d’après [Sk], cette action est duale d’une lamination géodésique mesurée β. D’après un théorème de continuité de J.-P. Otal ([Ot2]), on a alors i(β, λ) = 0. Lorsque ∂M est incompressible, notons β la réunion des laminations géodésiques mesurées obtenues en faisant cette construction pour chaque composante de π_{1}(∂^{j}M). Dans ce cas, F. Bonahon et J.-P. Otal déduisent de [MoS2] et de l’étude de la sous-variété caractéristique de M que β est annulaire. Ceci contredit les conditions 2) et 2′) de [BoO] (ou la condition b_{1}) ci-dessus), ce qui permet de conclure. Lorsque ∂^{j}M est compressible, on ne peut plus appliquer le théorème de Skora. Mais, d’après [MoO], il existe quand même une lamination β ∈ ML(∂^{j}M) et un morphisme équivariant de l’arbre A_{β}, dual de β, dans A. Comme l’action de π_{1}(∂^{j}M) n’est pas à petit stabilisateur d’arrêtes, ce morphisme peut avoir des points de branchement et il peut y avoir plusieurs laminations géodésiques mesurées distinctes pour lesquelles il existe un tel morphisme. Nous verrons alors comment utiliser le fait que (l_{σ_{n}}(λ_{n})) est bornée et le théorème de continuité de J.-P. Otal pour construire une telle lamination β qui n’intersecte pas λ transversalement. Un résultat de [KlS] et l’étude d’une sous-variété caractéristique (au sens de [Jo] et [JaS], cf. section 2.3) “relative à β” montrent que cette lamination β est annulaire et la condition b_{1}) fournit alors la contradiction cherchée.

La seconde étape consiste à établir que σ_{∞} est géométriquement finie et que λ en est la laminations mesurées de plissages. Dans [BoO], les auteurs utilisent la théorie des bouts des variétés hyperboliques dont le groupe fondamental est indécomposable, développée dans [Bo2], et le théorème de revêtement de [Ca] pour montrer que λ est réalisée dans ℍ^{3}/ρ_{∞}(π_{1}(M)) (ρ_{∞} : π_{1}(M) → Isom(ℍ^{3}) étant la limite des représentations ρ_{n} associées à σ_{n}). Nous allons traiter cette partie de la démonstration de manière complètement différente : nous utiliserons un lemme d’approximation des courbes “légèrement plissées” (cf. appendice A) pour trouver une suite extraite (σ_{n}) telle que la suite des métriques induites sur ∂_{χ<0}M converge algébriquement. Nous en déduirons que λ est réalisée dans ℍ^{3}/ρ_{∞}(π_{1}(M)), ce qui nous permettra d’achever cette seconde étape comme [BoO].

Nous pourrons enfin conclure la preuve du théorème 1 en montrant l’existence d’une suite de multi-courbes (λ_{n}) vérifiant les conditions a), b_{2}) et c) et convergeant vers λ. Comme elles satisfont les hypothèses du théorème 2 de [BoO], alors il existe une suite (σ_{n}) de métriques géométriquement finies telles que λ_{n} est la lamination géodésique mesurée de plissage de σ_{n}. Le lemme de fermeture permet alors d’achever la preuve du théorème 1.

Dans l’appendice B, on trouvera les propriétés des laminations géodésiques sur le bord des variétés hyperboliques utilisées dans le texte.

Je tiens à exprimer ma gratitude à Jean-Pierre Otal pour ses indications, sa gentillesse et sa grande patience. Je remercie également Francis Bonahon, Gero Kleineidam et Juan Souto pour les discussions fructueuses que j’ai eues avec eux et qui m’ont permis de simplifier cet article.

2 Définitions

2.1 Définitions générales

Munissons chaque composante de ∂_{χ<0}M d’une métrique hyperbolique complète. Une \underline{lamination géodésique} sur ∂M est un compact qui est réunion disjointe de géodé-

siques complètes plongées ∂_{χ<0}M ; on note L(∂M) l’espace des laminations géodésiques sur ∂M. Une \underline{multi-courbe} est une lamination géodésique dont toutes les feuilles sont fermées (c’est-à-dire une réunion de géodésiques fermées simples disjointes). Une lamination géodésique λ est dite \underline{minimale} si toute demi-feuille est dense dans λ (auquel cas λ est soit une Fig. 1 – Exemple : en munissant chacune des composantes de la multi-courbe dessinée en gras d’un poids > \frac{2π}{3} , on obtient la lamination mesurée de plissage d’une métrique géométriquement finie sur l’intérieur d’un bretzel de genre 3.

géodésique fermée, soit un \underline{minimal exceptionnel}). Une feuille d’une lamination géodésique λ est dite \underline{récurrente} si elle est contenue dans une lamination géodésique minimale (cette lamination géodésique minimale étant automatiquement contenue dans λ). Toute lamination géodésique λ est la réunion disjointe d’un nombre fini de laminations géodésiques minimales (appelées minimaux de λ) et de feuilles non-récurrentes. Une \underline{lamination} \underline{géodésique mesurée} est une lamination géodésique munie d’une mesure transverse de support plein. On notera ML(∂M) l’espace des laminations géodésiques mesurées sur ∂M muni de la topologie faible sur les mesures. Pour une exposition plus complète des propriétés des laminations géodésiques, le lecteur pourra se reporter à [CaB], [Bo3] ou à l’appendice de [Ot3].

Soient α et β sont deux laminations géodésiques, on dira que α intersecte β transversalement si α possède au moins une feuille qui intersecte une feuille de β transversalement. Par extension, on dira que deux laminations géodésiques mesurées s’intersectent transversalement si leurs supports s’intersectent transversalement.

A une lamination géodésique mesurée λ sur une surface connexe S, on associe de manière canonique un arbre réel A_{λ} appelé arbre dual de la lamination. Remplaçons les feuilles fermées de λ par des anneaux feuilletés par des courbes fermées parallèles. Notons F_{λ} le feuilletage mesuré partiel de S ainsi obtenu et F̆_{λ} sa préimage dans le revêtement universel ℍ^{2} de S. La pseudo-distance sur ℍ^{2} obtenue en intégrant la mesure transverse de F̆_{λ} est continue et le quotient de ℍ^{2} par cette pseudo-distance est un arbre réel A_{λ} appelé arbre dual de λ. Le groupe fondamental de S agit sur A_{λ} et cette action est minimale à petits stabilisateurs d’arrêtes. Pour plus de détails, voir [Ot3] ou [Ka].

Un disque \underline{essentiel} dans M est un disque D proprement plongé dans M qui ne peut pas être homotopé dans un disque de ∂M par une homotopie fixant ∂D. La courbe simple ∂D est appelée un \underline{méridien}. D’après le lemme de Dehn (cf. [He]), une courbe simple c ⊂ ∂M qui est homotope à un point dans M est un méridien. Une sous-variété N de M est \underline{incompressible} si N n’est pas simplement connexe et si l’application i_{∗} : π_{1}(N) → π_{1}(M) induite par l’inclusion est injective. Un tore essentiel dans M est un tore incompressible qui ne peut pas être homotopé dans ∂M. Un anneau ou ruban de Möbius a \underline{essentiel} est un anneau ou ruban de Möbius proprement plongé, incompressible, qui ne peut pas être homotopé dans un anneau ou ruban de Möbius de ∂M par une homotopie fixant ∂a. Si une composante ∂^{2}a de ∂a est contenue dans un tore de ∂M ; alors l’autre composante ∂^{1}a de ∂a est homotope à une géodésique simple fermée. En la munissant d’une mesure de Dirac de poids 1, on obtient une lamination géodésique mesurée que nous noterons encore ∂a; nous appellerons cette géodésique simple fermée une \underline{courbe parabolique} (en effet, cette courbe est un parabolique accidentel pour toute métrique géométriquement finie sur l’intérieur de M). Si le bord de a ne contient pas de courbe parabolique, on peut homotoper a de façon à ce que son bord soit une lamination géodésique, en associant à cette lamination des poids égaux au degré de la restriction de l’homotopie au bord de a, on en fait une lamination géodésique mesurée que nous noterons ∂a. De manière similaire, si D est un disque essentiel, en munissant la géodésique fermée simple homotope à ∂D d’une mesure de Dirac de poids 1, on obtient une lamination géodésique mesurée ∂D. Soit λ ⊂ ML(∂M) et a ⊂ M un disque, anneau ou ruban de Möbius essentiel alors i(λ, ∂a) est le nombre d’intersection de λ et de la lamination géodésique mesurée ∂a définie précédemment.

Soit σ une métrique hyperbolique (définie à isotopie près) sur int(M) ; la donnée d’un point base x dans M, identifié au point O ∈ ℍ^{3}, et d’un repère orthonormé de l’espace tangent en x, identifié au repère orthonormé canonique de l’espace tangent T_{O}ℍ^{3}, permet de définir une représentation ρ : π_{1}(M) → Isom(ℍ^{3}), fidèle est discrète. Si on change le point base x ou le repère de l’espace tangent en x, on obtient une nouvelle représentation ρ′ qui est conjuguée à ρ. L’image ρ(π_{1}(M)) est un groupe Kleinien (c’est-à-dire un sous-groupe discret de Isom(ℍ^{3})) finiment engendré, sans torsion et int(M) munie de la métrique σ est isométrique à ℍ^{3}/ρ(π_{1}(M)). Notons N(ρ) le \underline{cœur de Nielsen} de ℍ^{3}/ρ(π_{1}(M)), qui est le quotient par ρ(π_{1}(M)) de l’enveloppe convexe H(ρ) de l’ensemble limite L_{ρ} de ρ(π_{1}(M)) (voir [Th1, chap 8] pour plus de détails). Ce convexe N(ρ) est isométrique au coeur convexe N(σ) définit dans l’introduction, ce qui nous permet de confondre les deux. La \underline{partie épaisse}, N(ρ)^{ep} du coeur de Nielsen, est le complémentaire dans N(ρ) de la partie cuspidale de ℍ^{3}/ρ(π_{1}(M)). La représentation ρ est dite \underline{géométriquement} \underline{finie} si N(ρ)^{ep} est compact (une définition ici équivalente est que N(ρ) a un volume fini) et \underline{convexe cocompacte} si N(ρ) est compact. Lorsque ρ est géométriquement finie, le bord de N(ρ)^{ep} est une réunion de tores et de surfaces compactes ; chacune de ces surfaces est une réunion d’anneaux, contenus dans le bord de la partie cuspidale et de surfaces, éventuellement à bord, incluses dans le bord de N(ρ). Chacune de ces dernières surfaces est plissée le long d’une lamination géodésique (cf. [Th1, chap 8]). On définit le \underline{lieu de plissage} de ρ(π_{1}(M)) comme la réunion de ces laminations géodésiques λ^{i} et des courbes simples, âmes des anneaux a^{i} correspondant aux pointes de rang 1. On munit ce lieu de plissage d’une mesure transverse qui mesure l’intensité du plissage de ∂N(ρ) le long des laminations géodésiques λ^{i} (cf. [EpM]) et associe aux âmes des anneaux a^{i} une mesure de Dirac de poids π. Si ρ n’est pas une représentation fuchsienne, la rétraction de ℍ^{3}/ρ(π_{1}(M)) sur N(ρ) permet de définir (à isotopie près) un homéomorphisme naturel h : M → N(ρ)^{ep}. Cet homéomorphisme h permet d’interpréter le lieu de plissage de ∂N(ρ) comme une lamination géodésique mesurée λ_{σ} ∈ ML(∂M), dépendant seulement de la classe de la classe d’isotopie de σ, qu’on appelle \underline{lamination géodésique} \underline{mesurée de plissage}

de la métrique géométriquement finie σ. On peut également préciser la définition de \overline{M̃} donnée dans l’introduction : soit ρ une représentation géométriquement finie de π_{1}(M) dont les sous-groupes paraboliques maximaux sont d’ordre deux et h : M → N(ρ)^{ep} l’homéomorphisme naturel ; on définit \overline{M̃} comme l’adhérence dans ℍ̄^{3} de H(ρ)^{ep} = Ñ(ρ)^{ep}, on a alors ∂\overline{M̃} − ∂M̃ = L_{ρ}. Soit l̃ ⊂ ∂M̃ une géodésique et \overline{l̃} sont adhérence dans \overline{M̃} ; on dira que l̃ \underline{a deux bouts bien définis} dans ∂\overline{M̃} si ¯ l̃ − l̃ est constitué de 1 ou 2 points de L_{ρ}.

2.2 Laminations géodésiques sur une variété à bord compressible

Munissons M d’une métrique hyperbolique géométriquement finie σ dont toutes les pointes sont des pointes de rang 2, d’une représentation ρ : π_{1}(M) → Isom(ℍ^{3}) qui induise σ et d’un homéomorphisme h : M → N(ρ)^{ep}. Chaque composante de ∂_{χ<0}M est munie de la métrique induite par la restriction de h à ∂M. Comme ∂N(ρ)^{ep} est une surface réglée, cette métrique est hyperbolique (cf. [Ro]). Dans la suite du texte, lorsque nous montrerons des propriétés topologiques de M ou des laminations sur ∂M, nous supposerons que M est munie de la métrique définie précédemment. Comme dans l’introduction, on notera p : M̃ → M la projection du revêtement universel.

Notons M l’ensemble des multi-courbes de ∂M dont chaque composante borde un disque essentiel de M. Soit M_{géom} le complété de M pour la topologie de Hausdorff (que nous appellerons aussi topologie géométrique). Les définitions suivantes sont utiles à la description des laminations géodésiques de M_{géom}.

Un feuille l̃d’une lamination géodésique α̃ ⊂ ∂M̃ est dite \underline{homoclinique}lorsqu’elle contient deux suites de points (x_{n}) et (y_{n}) tels que la distance entre les points x_{n} et y_{n} mesurée sur la feuille tend vers l’infini avec n, tandis que leur distance dans M̃ reste bornée (cette définition diffère de celles de [Ot1] où une telle feuille est appelé faiblement homoclinique). Une feuille l d’une lamination géodésique α ⊂ ∂M est dite homoclinique si elle possède un relevé à ∂M̃ qui est homoclinique. Un critère de Casson dit qu’une lamination géodésique connexe est dans M_{géom} si et seulement si elle contient une feuille homoclinique. Nous n’utiliserons pas cette équivalence, mais seulement le fait qu’une limite géométrique de méridiens contient une feuille homoclinique (théorème B.1, voir aussi [Ot1]). En pratique nous nous servirons principalement de la propriété suivante :

- une feuille l̃qui a deux bouts biens définis et distincts dans ∂\overline{M̃} n’est pas homoclinique.

Deux feuilles distinctes l̃_{1} et l̃_{2} d’une lamination géodésique α̃ ⊂ ∂M̃ sont dites \underline{biasymptotes}

si chacune d’elles a deux bouts biens définis dans \overline{M̃} et si leurs adhérences dans ∂\overline{M̃} ont les deux mêmes extrémités. Une lamination géodésique α ∈ L(∂M) dont la préimage p^{−1}(α) contient deux feuilles biasymptotes sera dite \underline{annulaire}. Par exemple le bord d’un anneau ou d’un ruban de Möbius essentiel qui ne contient pas de courbe parabolique est une lamination géodésique annulaire. Une lamination géodésique λ sera dite \underline{anannulaire} si λ intersecte transversalement toutes les laminations annulaires et toutes les courbes paraboliques de ∂M.

Soit c une géodésique simple fermée sur le bord de M ; un \underline{arc de} \underline{compression} vers c est un arc κ plongé (on ne considèrera dans la suite que des arcs géodésiques) tel que c ∩ κ = ∂κ et qui est homotope dans M relativement à ∂κ à un arc de c.

Une lamination géodésique λ est dite \underline{en position prétendue} par rapport à une multicourbe μ si et seulement si

1) λ ne contient pas d’arc de compression vers μ;

2) chaque feuille de λ intersecte transversalement μ. L’ensemble des laminations en position prétendue par rapport à une multi-courbe μ fixée est ouvert pour la topologie géométrique. En effet, soient λ une lamination géodésique en position prétendue par rapport à μ et λ_{n} une suite de lamination géodésique convergeant géométriquement vers λ. Supposons que λ_{n} contient un arc de compression k_{n} vers μ. Si l(k_{n}) est bornée, quitte à extraire, k_{n} converge pour la topologie de Hausdorff vers un arc k ⊂ λ. Cet arc k est un arc de compression vers μ, ce qui contredit la propriété 1) ci-dessus. Par conséquent, l(k_{n}) n’est pas bornée ; quitte à extraire, k_{n} converge pour la topologie de Hausdorff et sa limite contient alors une lamination géodésique k ⊂ α qui n’intersecte pas μ, ceci contredit 2).

Soit S ⊂ ∂M une surface compacte compressible dont le bord ne contient pas de méridiens et μ ⊂ S une famille de méridiens disjoints. Notons M′ la variété obtenue en découpant M le long d’une famille de disques essentiels bordée par μ et S′ ⊂ ∂M′ la surface obtenue en découpant S le long de μ et en recollant le long de chaque composante de bord ainsi formée un disque de ∂M′ qu’elle borde. La multi-courbe μ est un \underline{système admissible de méridiens de S} si l’une des deux hypothèses suivantes est satisfaite :

- M′ est une boule et S′ = ∂M′;

- S′ est incompressible dans M′ (en particulier, S′ ne contient pas de sphères).

L’existence et quelques propriétés de ces systèmes admissibles sont discutées en annexe B.

Fig. 2 – Un système admissible de méridiens de S.

2.3 Sous-variété caractéristique

Soit Σ ⊂ ∂M une surface compacte incompressible ; une sous-variété N ⊂ M qui est homéomorphe à un fibré en intervalles (ou I-fibré) sur une surface compacte à bord est \underline{essentiel} dans (M, Σ), si N est incompressible, si N ∩ ∂M ⊂ Σ est le ∂I-fibré correspondant et si N ne peut pas être homotopé dans Σ par une homotopie qui fixe le ∂I-fibré N ∩Σ. Nous dirons qu’une sous-variété N de M qui est homéomorphe à un tore solide D^{2} × S^{1} ou à un tore épaissi S^{1}×S^{1}×I est \underline{essentielle} dans (M, Σ) si N est incompressible, N ∩∂M ⊂ Σ, N ne peut pas être homotopée dans ∂M par une homotopie qui fixe N ∩ ∂M et si les composantes de N ∩ ∂M sont de la forme I × S^{1} ⊂ (∂D^{2}) × S^{1} dans le cas où N ≈ D^{2} × S^{1} et de la forme S^{1} × I × {q} ⊂ S^{1} × S^{1} × ∂I dans le cas où N ≈ S^{1} × S^{1} × I.

F. Johannson, W. Jaco et P.B. Shalen ont défini une sous-variété caractéristique W relative à Σ (cf. [Jo] et [JaS]). Lorsque M est une variété hyperbolique, c’est une union disjointe de fibrés en intervalles sur des surface compactes, de tores solides et de tores épaissis essentiels. Une telle union disjointe W de I-fibrés, de tores solides et de tores épaissis essentiels est une sous-variété caractéristique relative à Σ (on dira aussi sous-variété caractéristique de (M, Σ)) si elle a les deux propriétés suivantes :

– tout I-fibré, tore solide ou tore épaissi essentiel dans (M, Σ) peut être homotopé dans W ;

– aucune composante de W ne peut être homotopée dans une autre composante de W.

D’après [Jo] et [JaS], si W et W′ sont deux telles sous-variétés caractéristiques relatives à Σ, alors il existe un difféomorphisme ψ : M → M isotope à l’identité relativement à ∂M − Σ tel que ψ(W) = W′ et que ψ(W ∩ Σ) = W′ ∩ Σ.

Nous allons dans les lignes qui suivent utiliser des arguments de [OtP] pour construire une telle sous-variété caractéristique en utilisant une métrique hyperbolique sur l’intérieur de M. Pour cela, nous allons nous restreindre au cas où Σ ne contient pas de courbes paraboliques ; dans ce cas une sous-variété caractéristique relative à Σ ne contient pas de tores épaissis.

La discussion de [OtP] que nous allons reprendre ici porte essentiellement sur les adhérences des composantes connexes de la préimage de Σ dans ∂M̃. Munissons M d’une métrique hyperbolique géométriquement finie σ dont toutes les pointes sont des pointes de rang 2, d’une représentation ρ : π_{1}(M) → Isom(ℍ^{3}) associée à σ et d’un homéomorphisme h : M → N(ρ)^{ep}. Cet homéomorphisme nous permet de considérer M comme une sousvariété de ℍ^{3}/ρ(π_{1}(M)). Chaque composante de ∂_{χ<0}M est munie de la métrique induite par la restriction de h à ∂M.

Lemme 2.1. Soit Σ ⊂ ∂_{χ<0}M une surface compacte, connexe, incompressible, ne contenant pas de courbes paraboliques, munie de la métrique induite par h et Σ̆ son revêtement universel, que l’on complète de la façon habituelle en un disque fermé \overline{Σ̆} ; alors, chaque composante de la préimage de Σ dans ∂M̃ est un disque dont la fermeture est homéomorphe à \overline{Σ̆} de façon équivariante.

Démonstration. Soient Σ̃ une composante de la préimage de Σ dans ∂M̃ et Γ le stabilisateur de Σ̃ dans ρ(π_{1}(M)) ; on a alors Σ ≈ Σ̃/Γ. Comme π_{1}(Σ) ≈ Γ est finiment engendré, d’après Thurston, Γ est géométriquement fini (cf. [MaT]). Si Γ contient un élément parabolique, alors il existe une courbe c ⊂ Σ qui peut être homotopée dans un tore T de ∂M. On a donc un anneau singulier a reliant Σ à T (i.e. tel que ∂a = ∂^{1}a ∪ ∂^{2}a, ∂^{1}a ⊂ Σ et ∂^{2}a ⊂ T). D’après [Wa1], il existe un anneau plongé reliant Σ à T , donc Σ contient une courbe parabolique, ce qui est contraire à notre hypothèse de départ. Le groupe Γ est donc convexe cocompacte. Comme Σ est incompressible, l’inclusion de Σ dans ∂M se relève en un homéomorphisme du revêtement universel Σ̆ de Σ sur Σ̃. D’après Otal [Ot1, lemme 1.10] (voir aussi [Fl]), comme Γ est convexe cocompact, cet homéomorphisme s’étend en un homéomorphisme équivariant de \overline{Σ̆} dans \overline{Σ̃} = Σ̃ ∪ L_{Γ}. Comme Σ̃ ∪ L_{Γ} ⊂ H(ρ)^{ep} ∪ L_{ρ} ≈ \overline{M̃}, on a ainsi montré le lemme.

Affirmation 2.2. Soient Σ ⊂ ∂_{χ<0}M une surface compacte, connexe, incompressible, ne contenant pas de courbes paraboliques, Σ̃ ⊂ ∂M̃ une composante connexe de sa préimage et Γ ⊂ ρ(π_{1}(M)) le stabilisateur de Σ̃ ; alors, pour tout ε > 0, il n’y a qu’un nombre fini de translatés de l’ensemble limite L_{Γ} dont le diamètre pour la distance sphérique de ∂\overline{ℍ}^{3} est supérieur à ε.

Démonstration. Supposons qu’il existe une infinité de translatés g_{n}(L_{Γ}) de diamètre supérieur à ε; les enveloppes convexes dans ℍ^{3} de ces translatés intersectent un même compact de ℍ^{3}. On en déduit une infinité de translatés d’un domaine fondamental pour l’action de Γ sur l’enveloppe convexe H(L_{Γ}) qui intersectent un même compact. Comme Γ est convexe cocompacte, ce domaine fondamental peut être choisi compact ce qui contredit le fait que ρ(π_{1}(M)) agit proprement discontinuement sur ℍ^{3}.

Affirmation 2.3. Soient Σ et Σ′ ⊂ ∂_{χ<0}M deux surfaces disjointes, compactes, connexes, incompressibles, ne contenant pas de courbes paraboliques, Σ̃ ⊂ ∂M̃ (resp. Σ̃′) une composante de la préimage de Σ (resp Σ′) et Γ ⊂ ρ(π_{1}(M)) (resp. Γ′) le stabilisateur de Σ̃ (resp. Σ̃′) ; alors si L_{Γ} ∩ L_{Γ′} n’est pas vide, il contient au moins deux points.

Démonstration. Soient ξ ⊂ L_{Γ} ∩ L_{Γ′} et l^{+} une demi-géodésique de ℍ^{3} qui est asymptote à ξ; notons o l’origine de ℍ^{3}. Comme Γ est convexe cocompact, il existe une suite non constante d’éléments g_{n} ∈ Γ et une constante K telles que, pour tout point x de l^{+}, ∃n avec d(x, g_{n}(O)) ≤ K. On a de même une constante K′ et une suite g′_{n} ⊂ Γ′, d’où d(g_{n}(O), g′_{n}(O)) ≤ K + K′. Comme ρ est fidèle et discrète ceci entraîne que, quitte à extraire une sous-suite, ∃g ∈ ρ(π_{1}(M)) telle que ∀n, g′_{n}g_{n}^{−1} = g. De cette égalité on déduit que g′_{n}g_{n}^{−1}g_{n+1}g_{n+1}^{′−1} = Id, d’où g_{n}^{−1}g_{n+1} = g_{n}^{′−1}g′_{n+1} ce qui permet de conclure que L_{Γ} ∩ L_{Γ′} contient les deux points fixes de g_{n}^{−1}g_{n+1}.

Proposition 2. Soient Σ et Σ′ ⊂ ∂_{χ<0}M deux surfaces disjointes ou confondues, compactes, connexes, incompressibles, ne contenant pas de courbes paraboliques, Σ̃ ⊂ ∂M̃ (resp. Σ̃′) une composante de la préimage de Σ (resp. Σ′) et Γ ⊂ ρ(π_{1}(M)) (resp. Γ′) le stabilisateur de Σ̃ (resp. Γ′).

Alors \overline{Σ̃} ∩ \overline{Σ̃}′ est ou bien vide, ou bien égal à l’ensemble limite de Γ ∩ Γ′.

Dans ce dernier cas, si Γ ∩ Γ′ n’est pas cyclique, c’est le groupe fondamental d’une composante I-fibrée W_{i} d’une sous-variété caractéristique de (M, Σ ∪ Σ′) et si Γ ∩ Γ′ est cyclique, c’est un sous-groupe d’indice fini du groupe fondamental d’un tore solide W_{k} qui est une composante d’une sous-variété caractéristique de (M, Σ ∪ Σ′).

Démonstration. Soit F = \overline{Σ̃}∩\overline{Σ̃}′ = L_{Γ} ∩L_{Γ′} ; comme les points fixes de tout élément de Γ∩Γ′ autre que l’identité sont contenus dans F, alors L_{Γ∩Γ′} ⊂ F. Notons C̃ l’enveloppe convexe de F dans Σ̃ ⊂ ∂M̃ munie de la métrique induite.

Affirmation 2.4. L’image par p : Σ̃ → Σ de chaque géodésique de la frontière de C̃ (ou de la géodésique C̃ si F contient seulement deux points) est une géodésique simple compacte.

Démonstration. Soit g ⊂ Γ ; comme g(Σ̃′) et Σ̃′ sont confondues ou disjointes, alors C̃ et g(C̃) coïncident ou sont disjoints. La projection l = p(l̃) de chaque composante l̃ de ∂C̃ est donc une géodésique simple. Si l n’est pas compacte, une infinité de translatés de l̃intersectent un même compact de Σ̃ et les bouts de ses translatés sont contenus dans des translatés différents de L_{Γ′}. On a alors une infinité de translatés de L_{Γ′} dont le diamètre est minoré, ce qui contredit l’affirmation 2.2.

Si le cardinal de F est deux, la projection de C̃ est une géodésique simple compacte et C̃ est stabilisé par un élément g ⊂ Γ indivisible dans Γ. Si pour tout n ∈ ℤ, g^{n} ne stabilisait pas Σ̃′, il y aurait une infinité de translatés de L_{Γ′} contenant F, ce qui contredirait l’affirmation 2.2. On en déduit qu’il existe n tel que g^{n} ∈ Γ ∩ Γ′ et que g^{n} stabilise C̃′. Notons g un élément indivisible de ρ(π_{1}(M)) tel que g = g^{p}, il existe alors q ≤ np tel que g^{q} est un élément indivisible de Γ′ qui stabilise C̃′. Notons c̃^{∗} l’axe de g et c^{∗} ⊂ M sa projection ; la géodésique C est librement homotope à pc^{∗} et C′ est librement homotope à qc^{∗}. L’affirmation suivante va nous permettre de conclure que p = q et que C∪C′ borde un anneau essentiel.

Remarque. Sous les hypothèse de la proposition 2, il est possible que C = C′. Dans ce cas, on choisit un voisinage annulaire V ⊂ ∂M de C et on remplace C par une composante de ∂V et C′ par l’autre composante de ∂V (comme M est orientable, ∂V a deux composantes connexes).

Affirmation 2.5. Soient c et c′ ⊂ ∂M deux géodésiques simples compactes disjointes et p et q deux entiers tels qu’il existe une géodésique simple c ⊂ M telle que c est librement homotope à pc et que c′ est librement homotope à qc. Alors p = q et c ∪ c′ borde un anneau essentiel.

Démonstration. Soient c̃ ⊂ ∂M̃ un relevé de c et g ∈ ρ(π_{1}(M)) un générateur du sous-groupe qui laisse c̃ invariant ; d’après les hypothèses de l’affirmation, il existe des relevés c̃ de c et c̃′ de c′ invariant par g^{pq}. La famille \{c̃, ρ_{n}(g)(c̃), …, ρ_{n}(g^{p−1})(c̃)\} découpe ∂\overline{ℍ}^{3} ≈ S^{2} en p croissants Z_{1}, …, Z_{p}. Comme c′ n’intersecte pas c, pour tout i ∈ ℤ, ρ_{n}(g^{i})(c̃′) est contenu dans l’un des Z_{j}. De plus Z_{j} = ρ_{n}(g)(Z_{j−1}), donc le nombre de translatés de c̃′ qui sont contenus dans Z_{j} ne dépend pas de j. Comme q est le nombre de translatés de c̃′ qui ont les mêmes bouts que c̃, on en déduit que p divise q. En échangeant les rôles de c̃ et de c̃′, on obtient que q divise p. Ainsi on a q = p et c et c′ sont donc librement homotopes. D’après [ShW] ceci entraine que c ∪ c′ borde un anneau essentiel.

Si le cardinal de F est strictement supérieur à deux, la surface C = p(C̃) est une soussurface de Σ bordée par des géodésiques simples compactes. Notons Γ_{1} ≈ π_{1}(C) le stabilisateur dans Γ de C̃; Γ_{1} est le stabilisateur de F dans Γ donc Γ∩Γ′ ⊂ Γ_{1} . Comme F contient au moins trois points et que Γ_{1} stabilise F ⊂ ∂Σ̃′, Γ_{1} stabilise aussi Σ̃′ et Γ_{1} ⊂ Γ ∩ Γ′. On a ainsi Γ_{1} = Γ ∩ Γ′ et si C̃′ est l’enveloppe convexe de F dans Σ̃′, alors C′ = p(C̃′) est homotope à C. Comme C ⊂ Σ est incompressible, d’après [Wa3], C ∪ C′ borde un I-fibré, C × I, essentiel de (M, Σ ∪ Σ′).

Si le cardinal de F est égal à deux, notons Σ̃_{1}, Σ̃_{2},..., Σ̃_{N} les translatés de Σ̃ et Σ̃′ dont les adhérences intersectent \overline{Σ̃} exactement en F ; ces translatés sont en nombre fini d’aprés l’affirmation 2.2 et nous allons supposer que N ≥ 1. Notons c̃_{j} la géodésique de Σ̃_{j} qui joint x̃ à ỹ, c̃^{∗} la géodésique de ℍ^{3} qui joint x̃ à ỹ, c^{∗} la projection de c̃^{∗} dans ℍ^{3}/ρ(π_{1}(M)) et c_{j} les projections de c̃_{j} sur ∂N(ρ), 1 ≤ i ≤ N. D’aprés l’affirmation 2.5 il existe p tel que toutes les courbes c_{j} sont homotopes à pc^{∗}. Pour chaque point z de c_{j}, considérons le segments géodésique qui joint z á sa projection orthogonale sur c^{∗}; la rénion des ces segments est un anneau a_{j} qui est plongé sauf éventuellement en c^{∗}. Faisons cette construction pour tout 1 ≤ i ≤ N ; un petit voisinage de ⋃_{j} a_{j} est un tore solide essentiel dans (M, Σ ∪ Σ′).

On fait l’une des deux constructions ci-dessus pour chaque translaté de Σ̃ et Σ̃′ dont l’adhérence intersecte \overline{Σ̃}. On obtient ainsi une famille de I-fibrés essentiels W_{i} (remarquons que l’étude des éléments de la forme g(\overline{Σ̃}) ∩ \overline{Σ̃} peut produire des fibrés tordus) et de tores essentiels W_{k}. Comme les translatés de Σ̃ et Σ̃′ sont disjoints, l’intersection de trois éléments distincts parmi les translatés de \overline{Σ̃} et de \overline{Σ̃}′ contient au plus 2 points. Quitte à les changer par une homotopie, on peut donc supposer ces I-fibrés et tores essentiels deux à deux disjoints, notons W leur réunion.

Il nous reste à montrer que W est une sous-variété caractéristique de (M, Σ ∪ Σ′), ceci découle assez facilement de notre construction.

Soit V ≈ F × I un I-fibré essentiel dans (M, Σ ∪ Σ′) ; modifions V par une homotopie de façon que le bord de la surface V ∩ ∂M soit géodésique. Soit Ṽ ≈ F̃ × I ⊂ M̃ un relevé de V ; chaque composante de F̃ × ∂I est contenue dans un relevé de Σ ou de Σ′, notons Σ̃_{1} et Σ̃_{2} ces relevés, G_{1} et G_{2} ⊂ ρ(π_{1}(M)) leur stabilisateurs et C̃_{1} et C̃_{2} les enveloppes convexes de L_{G_{1}} ∩ L_{G_{2}} dans Σ̃_{1} et Σ̃_{2}. Comme le bord de F × ∂I est géodésique, les composantes de F̃ × ∂I sont les enveloppes convexes dans Σ̃_{1} et Σ̃_{2} du stabilisateur ΓF̃ ⊂ ρ(π_{1}(M)) de Ṽ ; en particulier F̃ ×∂I ⊂ C̃_{1} ∪C̃_{2}. Par construction C_{1} ∪C_{2} est isotope au bord d’une composante W_{i} de W et on vient de montrer que F × ∂I peut être homotopé dans le bord de W_{i}. D’après [Jo], il s’en suit que V peut être isotopé dans cette composante W_{i} de W.

Comme Σ ∪ Σ′ ne contient pas de courbe parabolique, (M, Σ ∪ Σ′) ne contient pas de tore épaissi essentiel. Soit T un tore essentiel dans (M, Σ∪Σ′) ; ∂M ∩T est une réunion d’anneaux ou de rubans de Möbius b_{i} qui sont isotopes sur ∂T. Identifions M avec N(ρ)^{ep} et notons c^{∗} le géodésique de N(ρ) qui est homotope à une longitude de T ; chacun des b_{i} est homotopes sur ∂N(ρ) à une géodésique c_{i} de ∂N(ρ)^{ep}. Notons a_{i} l’anneau obtenu en joignant chaque point de c_{i} à sa projection orthogonale sur c^{∗}. Le tore T est homotope à ⋃_{i} a_{i} et par construction des tores essentiels de W, ⋃_{i} a_{i} peut être homotopé dans un tel tore essentiel.

Montrons enfin qu’aucune composante de W ne peut être isotopée dans une autre composante de W. Soient W_{1} et W_{2} deux composantes de W et W̃_{1} et W̃_{2} ⊂ M̃ des relevés de W_{1} et W_{2} ; ∂W̃_{1} ∩ ∂M̃ est contenu dans des relevés Σ̃_{1}, …, Σ̃_{p} (p = 2 si W_{1} est un I-fibré essentiel) de Σ ou Σ′ et ∂W̃_{2} ∩ ∂M̃ est contenu dans des relevés Σ̃_{p+1}, …, Σ̃′_{q} de Σ ou Σ′. Par construction l’un au moins des Σ̃_{p+1}, …, Σ̃_{q} (considérons que c’est Σ̃_{q}) n’appartient pas à la famille Σ̃_{1}, …, Σ̃_{p}. Également par construction, il existe un anneau E ⊂ W_{2} essentiel dans (M, Σ ∪ Σ′) tel qu’un relevé Ẽ de E possède une composante de bord contenue dans Σ̃_{q}. Comme Σ̃_{q} n’est pas un élément de {Σ̃_{1}, …, Σ̃_{p}}, Ẽ ne peut pas être isotopé dans W̃_{1}, donc W̃_{2} ne peut pas être isotopé dans W̃_{1}. En appliquant ce raisonnement à tous les relevé de W_{1} et de W_{2} on montre que W_{2} ne peut pas être isotopé dans W_{1}. On a ainsi montré qu’aucune composante de W ne peut être isotopée dans une autre composante de W ce qui conclut la preuve de la proposition 2.

Remarque. Si Σ^{1} et Σ^{2} sont incompressibles et que toutes les courbes paraboliques de Σ^{1} et Σ^{2} sont des courbes c^{1}, ..., c^{p} de ∂Σ^{1} ∪ ∂Σ^{2} ; alors en considérant une métrique géométriquement finie sur l’intérieur de M, qui a une pointe de rang 1 pour chaque c^{j}, on peut faire la même construction (cf. [OtP]).

2.4 Surface embrassée par une lamination géodésique

Nous allons associer à une lamination géodésique connexe une surface qu’elle remplit et que nous appellerons surface embrassée par cette lamination. L’existence d’une telle surface est une propriété connue des laminations géodésiques.

Dans toute cette section, λ est une lamination géodésique connexe sur une surface S munie d’une métrique hyperbolique d’aire finie. Nous supposons également que λ n’est pas une courbe simple.

Affirmation 2.6. Il existe une unique surface compacte S̄(λ) à bord géodésique telle que toute surface compacte à bord géodésique contenant λ contient S̄(λ).

Démonstration. Soit F une sous-surface de S, on appellera mutli-courbe séparante de F, une multi-courbe γ telle que F − γ n’est pas connexe.

Soit S_{1} une surface à bord géodésique contenant λ. Si S_{1} ne contient pas de multi-courbe séparante disjointe de λ, posons S̄(λ) = S_{1} ; sinon en découpant S_{1} suivant une telle multicourbe, on obtient une surface S_{2} ⊊ S_{1} à bord géodésique contenant λ. Si S_{2} ne contient pas de multi-courbe séparante disjointe de λ, on pose S̄(λ) = S_{2}, sinon, on construit S_{3} telle que λ ⊂ S_{3} ⊊ S_{2}. Comme une multi-courbe de S, contient au plus 3g(S) − 3 éléments, après un nombre fini d’itérations, on obtient une surface S_{j} = S̄(λ) à bord géodésique, contenant λ et ne contenant pas de multi-courbe séparante disjointe de λ. Il nous reste à montrer que S̄(λ) ainsi définie a la propriété cherchée, ceci entraînera, en outre, que S̄(λ) est indépendante de la suite finie S_{1}, S_{2}, ..., S_{j} choisie. Soit F une surface à bord géodésique contenant λ.

Homotopons F ∩ S̄(λ) en une surface S′ à bord géodésique. On a alors λ ⊂ S′ ⊂ F ∩ S̄(λ). Si S′ ⊊ S̄(λ), alors ∂S′ ⊂ S̄(λ) est une multi-courbe séparante disjointe de λ, ce qui est impossible par construction. On a donc S̄(λ) = S′ ⊂ F.

Remarque. D’après cette définition, S̄(λ) dépend de la métrique hyperbolique géométriquement finie de S. Cependant, si l’on change cette métrique, S̄(λ) est seulement modifiée par une isotopie de S.

Affirmation 2.7. Il n’y a qu’un nombre fini de géodésiques fermées simples dans S̄(λ) qui sont disjointes de λ. De plus, ces géodésiques sont deux à deux disjointes et non séparantes.

Démonstration. D’après la démonstration de l’affirmation précédente, toute géodésique fermée simple de S̄(λ) disjointe de λ est non séparante.

Nous allons montrer que deux géodésiques de S̄(λ) disjointes de λ ne peuvent pas s’intersecter. Comme S̄(λ) ne peut contenir plus de 3g(S̄(λ)) − 3 géodésiques disjointes, ceci permettra de conclure. Soient α_{1} et α_{2} deux géodésiques périodiques de S̄(λ) disjointes de λ.

- Si ♯(α_{1} ∩ α_{2}) = 1, alors α_{3} = α_{1}α_{2}α_{1}^{−1}α_{2}^{−1} est une courbe simple disjointe de α_{1} qui borde un tore percé disjoint de λ et contenu dans S̄(λ). Ceci contredit la minimalité de S̄(λ).

- Si ♯(α_{1} ∩ α_{2}) ≥ 2, α_{2} contient un arc k, tel que k ∩ α_{1} = ∂k. Par chirurgie de α_{1} le long de k, on obtient deux géodésiques α_{3} et α_{4} (éventuellement confondues) telles que α_{1}, α_{3} et α_{4} bordent un pantalon de S̄(λ) disjoint de λ. Ceci contredit à nouveau la minimalité de S̄(λ).

On appellera \underline{bord effectif} de S̄(λ) et on notera ∂′S̄(λ) la réunion du bord topologique de S̄(λ) et de ces courbes. On appellera \underline{surface embrassée} par la lamination λ et on notera S(λ) la surface obtenue en enlevant à S̄(λ) un voisinage annulaire de ∂′S̄(λ). Cette construction fournit l’affirmation suivante :

Affirmation 2.8. Soit c ⊂ S(λ) une géodésique simple ; alors ou bien c intersecte transversalement λ, ou bien c ⊂ λ.

Remarque. En utilisant les arguments de la preuve du lemme 2.7, on note que toute géodésique simple qui intersecte transversalement ∂′S̄(λ) ou bien intersecte transversalement λ, ou bien spirale sur un minimal de λ.

3 Quelques propriétés de P(M)

Montrons tout d’abord quelques propriétés vérifiées par une lamination qui satisfait la condition c) et intersecte transversalement toutes les courbes paraboliques de ∂M (donc à fortiori par une lamination qui vérifie les conditions c) et b), ou b_{1}), ou b_{2})).

Lemme 3.1. Soit λ ∈ ML(∂M) une lamination géodésique mesurée satisfaisant la condition c), S ⊂ ∂M une surface compacte compressible dont le bord n’intersecte pas λ transversalement. Alors il existe un système admissible de méridiens μ ⊂ S vers lequel S ne contient pas d’arc de compression disjoint de λ.

Démonstration. D’après la condition c), comme ∂S n’intersecte pas λ, ∂S ne contient pas de méridiens. Soit μ un système admissible de méridiens de S. Si S contient un arc de compression k vers un méridien μ_{0} ⊂ μ avec k disjoint de λ, alors, par chirurgie le long de cet arc, on obtient deux méridiens μ_{1} et μ_{2} tels que le système μ′ obtenu en remplaçant μ_{0} par μ_{1} ou μ_{2} (considérons que c’est μ_{1}) est une système admissible (cf. appendice B.1). On a alors i(λ, μ_{1}) + i(λ, μ_{2}) ≤ i(λ, μ_{0}) donc i(λ, μ′) ≤ i(λ, μ) − i(λ, μ_{2}) ≤ i(λ, μ) − 2π. En itérant cette opération un nombre fini de fois, on obtient un système admissible de méridiens vers lequel S ne contient pas d’arc de compression disjoint de λ.

Si α est une lamination qui n’intersecte pas transversalement λ, nous verrons par la suite (lemme 3.3) que cette propriété permet de définir les bouts des relevés des feuilles de λ. Dans l’immédiat, nous allons décrire une manière d’étendre ce système admissible pour obtenir une multi-courbe par rapport à laquelle α est en position prétendue.

Lemme 3.2. Soit λ une lamination géodésique mesurée qui satisfait la condition c) et intersecte transversalement toutes les courbes paraboliques de ∂M et α une lamination géodésique qui n’intersecte pas λ transversalement ; alors il existe une multi-courbe γ ⊂ S(α) par rapport à laquelle α est en position prétendue.

De plus, si S(α) est compressible (respectivement contient une courbe parabolique), alors γ contient un système μ de méridiens admissible pour (M, S(α)) (respectivement contient une courbe parabolique).

Démonstration. Comme λ n’intersecte pas α transversalement, λ ∩ S(α) ⊂ α.

Si S(α) est incompressible, notons γ ⊂ S(α) une multi-courbe telle que chaque feuille de α intersecte transversalement au moins une feuille de γ; comme S(α) est incompressible, γ est en position prétendue par rapport à α. Si S(α) contient une courbe parabolique c, par hypothèse λ intersecte c transversalement donc α intersecte c transversalement et on peut choisir γ de façon que c ⊂ γ.

Si S(α) est compressible, considérons un système de méridiens μ admissible pour (M, S(α)) fourni par le lemme 3.1. Soit α^{1} un minimal de α qui n’intersecte pas μ; notons S′ la surface obtenue en ajoutant à la composante de S(α) − μ qui contient α^{1} un disque le long de chaque composante de μ. Notons δ′ la multi-courbe réunion des feuilles fermées de α contenues dans S′ et des bords effectifs des surfaces embrassées par les minimaux exceptionnels de α contenus dans S′. Comme δ′ n’intersecte pas λ transversalement, d’après la condition c), ses feuilles sont incompressibles. Chaque feuille de δ′ correspond donc à un élément non nul de π_{1}(S′) ce qui entraîne que S′ n’est pas une sphère. Ceci entraîne aussi l’existence d’une multi-courbe ν ⊂ S′ ∩ ∂M telle que chaque composante de δ′ intersecte au moins une composante de ν de façon essentielle (c’est-à-dire que si S̆′ est le revêtement universel de S′, la préimage de ν sépare les deux bouts de chaque composante δ̆^{′j} de la préimage de δ′). Si S′ contient un arc de compression disjoint de λ vers une composante ν^{1} de ν, par chirurgie le long de cet arc, on obtient un disque essentiel D et une géodésique ν^{1′} tels que i(∂ν^{1′}, λ) ≤ i(∂ν^{1}, λ) − i(∂D, λ) ≤ i(∂ν^{1}, λ) − 2π. En itérant cette opération un nombre fini de fois, on obtient une nouvelle famille de courbes ν′ vers laquelle S ne contient pas d’arcs de compression disjoint de λ. Comme chaque composante ν^{j′} de ν′ est obtenue à partir d’une composante ν^{j} de ν par chirurgie le long d’arcs de compression, ν^{j′} est librement homotope à ν^{j} sur S′, donc chaque composante de δ′ intersecte transversalement une composante de ν′. En opérant ainsi pour chaque composante de ∂M −μ, on obtient une multi-courbe γ = μ∪ν′ par rapport à laquelle α est en position prétendue.

Remarque. Si M est un bretzel et si S(α) = ∂M, alors la variété obtenue en découpant M le long de disques bordés par les composantes du système admissible de méridiens μ produit par le lemme 3.1 est une boule. Par conséquent si un minimal α^{1} de α n’intersecte pas μ transversalement, alors les composantes de ∂S(α^{1}) sont des méridiens. On a alors une contradiction entre le fait que λ n’intersecte pas α transversalement et la condition c). On en déduit que α est en position prétendue par rapport à μ (on peut donc choisir γ = μ dans ce cas-là).

Lemme 3.3. Soient λ une lamination géodésique mesurée qui satisfait la condition c) et intersecte transversalement toutes les courbes paraboliques de ∂M et l une géodésique simple qui n’intersecte pas λ transversalement ; alors chaque relevé de l à ∂M̃ a deux bouts bien définis et distincts dans ∂\overline{M̃}.

Démonstration. Soit l̄l’adhérence de l dans ∂M ; c’est une lamination géodésique qui contient un ou deux minimaux que nous noterons α_{+} et α_{−} (avec éventuellement α_{+} = α_{−}). Comme l n’intersecte pas λ transversalement, α_{+} et α_{−} n’intersectent pas λ transversalement non plus. On a donc i(∂′S̄(l̄), λ) = 0 = i(∂′S̄(α_{+}), λ) = i(∂′S̄(α_{−}), λ).

Si S(l̄) est incompressible et ne contient pas de courbes paraboliques, l’affirmation 3.3 est une conséquence du lemme 2.1.

Sinon S(l̄) contient un méridien ou une courbe parabolique et l’affirmation suivante va nous permettre d’exploiter le lemme 3.1

Affirmation 3.4. Soit α ⊂ ML(∂M) une lamination géodésique minimale, l une feuille de α et μ une géodésique fermée simple qui est un méridien ou une courbe parabolique et par rapport à laquelle α est en position prétendue ; alors les relevés de l à ∂M̃ ont deux bouts bien définis dans \overline{M̃}. De plus, si μ est un méridien, ou si μ ∪ α est contenue dans une surface incompressible, alors ces deux bouts sont distincts.

Démonstration. Comme α est en position prétendue par rapport à μ, alors l intersecte μ. Soit l̃ un relevé de l, il intersecte au plus une fois chaque relevé de μ. Considérons l’ensemble (μ̃_{i})_{i∈ℤ} des relevés de μ qui intersectent l̃, indexé par l’ordre le long de l̃. Notons \overline{μ}_{i} l’adhérence de μ̃_{i} dans \overline{∂M̃} ≈ S^{2} ; pour i positif (respectivement négatif), chaque courbe \overline{μ}_{i} est une courbe de Jordan et borde un fermé F_{i} de \overline{∂M̃} tel que les fermés F_{i} vérifient :

- pour |i| > |j| et ij > 0, F_{i} ⊊ F_{j} ;

- le diamètre des F_{|i|}, pour la distance sphérique, tend vers 0 lorsque |i| tend vers +∞;

- ♯(F_{i} ∩ F_{j}) ≤ 1 pour j < 0 < i. Pour tout i ∈ ℤ, la feuille l̃ coupe exactement une fois ∂F_{i}, l̃ a donc deux bouts biens définis dans l’ensemble limite L_{ρ} = \overline{∂M̃} − ∂M̃.

Si μ borde un méridien, F_{i} ∩ F_{j} = ∅ pour j < 0 < i, donc ces deux bouts sont distincts. Considérons enfin le cas où μ est une courbe parabolique et où il existe une surface

incompressible Σ ⊂ ∂M qui contient μ ∪ α. Supposons qu’il existe j < 0 < i tels que F_{i} ∩ F_{j} ≠ ∅; d’après la construction des F_{j}, on a alors ∂F_{j} ∩ ∂F_{j+1} ≠ ∅. Soit k̃ le segment de l̃ qui joint μ_{j} à μ_{j+1} et c la courbe simple union de la projection k de k̃ sur ∂M et d’un segment de μ joignant les extrémités de k. Les éléments de ρ(π_{1}(M)) correspondant à μ et à c sont des isométries paraboliques qui fixent ∂F_{j} ∩ ∂F_{j+1} et donc commutent. Comme Σ est incompressible, ceci entraîne que π_{1}(S(α)) contient un groupe abélien de rang 2, ce qui est impossible. On en déduit que pour j < 0 < i, F_{i} ∩ F_{j} = ∅, ce qui permet de conclure.

Déduisons en tout d’abord que tout relevé d’une feuille de α_{+} (ou de α_{−}) a deux bouts biens définis dans ∂\overline{M̃}. Si S(α_{+}) est compressible ou contient une courbe parabolique, d’après le lemme 3.2, S(α^{+}) contient un méridien ou une courbe parabolique par rapport auquel α^{+} est en position prétendue. Dans les deux cas, l’affirmation 3.4 entraîne que tout relevé d’une feuille de α_{+} a deux bouts bien définis dans ∂\overline{M̃}. Il en est de même si S(α_{+}) est incompressible d’après l’affirmation 2.1. On en déduit que tout relevé de l a deux bouts bien définis dans ∂\overline{M̃}.

Montrons ensuite que ces deux bouts sont distincts. Si S(l̄) est compressible, notons μ ⊂ S(l̄) un méridien vers lequel l̄ ne contient pas d’arc de compression (l’existence de μ est assurée par le lemme 3.1) et si S(l̄) est incompressible mais contient une courbe parabolique, notons μ ⊂ S(l̄) une courbe parabolique. Notons l̃et μ̃ des relevés de l et μ qui s’intersectent. D’après l’affirmation 3.4, l’adhérence de μ̃ dans ∂\overline{M̃} sépare les deux bout de l̃.

Dans la preuve du théorème 1, nous n’utiliserons pas directement les conditions b) et c). Nous allons maintenant les formuler différemment. Pour simplifier l’exposé de la preuve du théorème 1, les démonstrations des résultats qui suivent ont été reportées en annexe.

Proposition 3. Soit λ une lamination géodésique mesurée vérifiant les conditions a) et c) ; alors les assertions suivantes sont équivalentes :

– b) l’intersection des adhérences dans \overline{B̃} de deux composantes connexes du complémentaire de p^{−1}(λ) dans ∂M̃ est soit vide, soit l’adhérence d’une feuille l̃⊂ p^{−1}(λ) dont la projection sur ∂M est une feuille fermée l;

– b_{1}) La lamination géodésique λ est anannulaire ;

– b_{2}) ∃η > 0 tel que, pour tout anneau essentiel a, i(∂a, λ) ≥ η.

Démonstration. Voir lemmes C.1 et C.3.

Remarque. Avec ces nouvelles conditions, on peut plus facilement rapprocher le théorème 1 des résultats de [BoO] : si M est une variété à bord incompressible, les conditions a), b_{1}) (en y ajoutant les rubans de Möbius essentiels si la variété n’est pas orientable) et b_{2}) sont équivalentes aux conditions 1, 2 et 2’ de [BoO] et la condition c) est vide.

Avant de montrer que ces conditions sont vérifiées par une lamination de plissage, nous allons donner une dernière propriété des laminations géodésiques de P(M) qui nous sera utile par la suite. Si λ est une lamination géodésique mesurée et l une géodésique simple non fermée, on définit le nombre d’intersection i(l, λ) comme la limite des nombres d’intersection i(λ, k_{n}) où k_{n} est une suite de segments emboîtés qui tendent vers l. Ce nombre d’intersection peut être infini et il est indépendant de la suite (k_{n}) choisie.

Lemme 3.5. Si λ est une lamination géodésique mesurée qui satisfait aux conditions b_{1}) et c), alors elle a la propriété suivante :

– c_{1}) toute feuille homoclinique l qui est contenue dans une limite géométrique de courbes simples vérifie i(l, λ) > 2π.

Démonstration. Voir annexe C.

3.1 Conditions nécessaires

Pour montrer que les conditions a), b), b_{1}), b_{2}) et c) sont nécessaires, nous allons prouver qu’une lamination mesurée de plissage vérifie les conditions a), b_{1}) et c), ce qui, d’après la proposition 3, permet de conclure.

Proposition 4. Soit λ la lamination géodésique mesurée de plissage d’une métrique géométriquement finie non fuchsienne σ sur l’intérieur d’une variété hyperbolique compacte de dimension 3 ; alors λ vérifie les conditions suivantes :

– a) toute feuille fermée de λ a un poids inférieur ou égal à π;

– b_{1}) La lamination géodésique λ est anannulaire ;

– c) i(λ, ∂D) > 2π pour tout disque essentiel D.

Démonstration. La condition a) vient de la définition de la mesure de plissage.

Comme dans [BoO], la condition c) vient de la formule de Gauss-Bonnet appliquée à un disque essentiel simplicial. Soient ρ : π_{1}(M) → Isom(ℍ^{3}) une représentation associée à σ et H(ρ) l’enveloppe convexe dans ℍ^{3} de l’ensemble limite L_{ρ}. Soit (H^{j}) une famille finie de demi-espaces contenant ∂H(ρ) telle que la frontière de chacun des H^{j} contient soit une composante de ∂H(ρ) − p^{−1}(λ), soit un relevé d’une feuille non-isolée de λ. Notons C le convexe ⋂_{j} H^{j}, ∂C est appelé un \underline{toit polyhédral} de ∂H(ρ). D’après [EpM], ∂H(ρ) est la limite d’une suite (∂C_{n}) de toits polyhédraux, au sens où tout compact de ∂H(ρ) est la limite pour la topologie de Hausdorff d’une suite de compacts de ∂C_{n}. Soit D ⊂ M un disque essentiel et ∂D le méridien qui le borde ; notons D̃ ⊂ M̃ un relevé de D. Comme M̃ ≈ H(ρ)^{ep}, on peut considérer que D̃ ⊂ H(ρ) (si ∂D intersecte une feuille de poids π de λ, D̃ ⊂ H(ρ) est un disque idéal, c’est-à-dire qu’il a une pointe correspondant à ce point d’intersection). Soient V ⊂ ℍ^{3} un voisinage de ∂D̃ et (∂C_{n}) une suite de toits polyhédraux de H(ρ) qui converge vers H(ρ) et tels que V ne contient aucun des sommets des ∂C_{n}. Soit c̃_{n} ⊂ ∂C_{n} ∩ V une suite de courbes simples qui converge vers ∂D̃ pour la topologie de Hausdorff. Homotopons chaque courbe c̃_{n} dans ∂C_{n} de façon qu’elle minimise la longueur dans sa classe d’homotopie. Comme ∂D̃ est une géodésique de H(ρ), la suite de courbes simples ainsi obtenues (toujours notée (c_{n})) converge vers ∂D̃. Pour n assez grand, c̃_{n} est donc contenue dans V et en particulier, c_{n} est disjointe des sommets de ∂C_{n}. Cette courbe c̃_{n} intersecte un certain nombre d’arêtes de C_{n} (comptées avec multiplicité), notons θ_{n} la somme des angles dièdres externes de C_{n} en chacune de ces arêtes. D’après [EpM], la suite (θ_{n}) converge vers i(∂D, λ). Soit x̃_{n} un point de c̃_{n} contenu dans une arrête de ∂C_{n}; considérons, comme dans [BoO], le cône géodésique D̃_{n} sur c̃_{n} issu de x̃_{n}. Ce cône D̃_{n} est un disque simplicial (dont nous noterons l’aire A_{n}) bordé par c̃_{n}. En appliquant la formule de Gauss-Bonnet à chacun des triangles géodésiques qui le composent, on obtient θ_{n} ≥ 2π + A_{n}. Quitte à extraire, on peut supposer que x̃_{n} converge vers un point x̃ ⊂ ∂D̃. Soient Σ̃ une composante connexe de ∂H(ρ) − p^{−1}(λ) telle que x̃ ∉ Σ̃, que Σ̃ ∩ ∂D̃ ≠ ∅ et que pour n assez grand Σ̃ ⊂ ∂C_{n} et ỹ et ỹ′ deux points distincts de Σ̃ ∩ ∂D̃; notons A l’aire du triangle géodésique de sommets x̃, ỹ et ỹ′. Pour n assez grand, le triangle géodésique de sommets x̃_{n}, ỹ et ỹ′ est contenu dans D̃_{n} et a une aire supérieure à \frac{A}{2}. En faisant tendre n vers l’infini, on conclut que i(∂D, λ) ≥ 2π + \frac{A}{2} > 2π.

Montrons enfin que λ vérifie la condition b_{1}). Une géodésique l̃de la métrique induite sur ∂M̃ qui n’intersecte pas p^{−1}(λ) est contenue dans une face totalement géodésique de ∂H(ρ), c’est donc une géodésique de ℍ^{3}. Si la projection l ⊂ ∂M de l̃ est une courbe parabolique, alors l̃est asymptote des deux côtés à un point fixe d’un élément parabolique de ρ(π_{1}(M)), ce qui est impossible pour une géodésique de ℍ^{3}. Si l^{1} et l^{2} sont deux géodésiques biasymptotes qui n’intersectent pas λ alors, elles ont des relevés l̃^{1} et l̃^{2} qui ont les deux mêmes bouts. Comme deux points de ∂ℍ̄^{3} sont joints par une unique géodésique ; alors l̃^{1} = l̃^{2} ce qui est absurde.

4 Le lemme de fermeture

L’étape principale de la preuve du théorème 1 est le lemme de fermeture suivant :

Proposition 5 (Lemme de fermeture). Soient M une variété hyperbolique compacte de dimension 3 et λ ∈ ML(∂M) une lamination géodésique mesurée appartenant à P(M). Supposons qu’il existe une suite de multi-courbes pondérées λ_{n} ∈ ML(∂M) telle que :

– i) pour tout n, λ_{n} est la lamination géodésique mesurée de plissage d’une métrique hyperbolique géométriquement finie σ_{n} sur l’intérieur de M ;

– ii) les laminations géodésiques mesurées λ_{n} convergent vers λ pour la topologie de ML(∂M) ;

– iii) les supports des λ_{n} convergent vers le support de λ pour la topologie de Hausdorff ;

– iv) pour tout n, les feuilles de poids π de λ sont des feuilles de poids π de λ_{n}. Alors, il existe un métrique hyperbolique géométriquement fini σ_{∞} dont la lamination géodésique mesurée de plissage est λ.

Afin de construire σ_{∞}, nous allons montrer qu’une suite extraite de (σ_{n}) converge algébriquement. Rappelons la signification de la convergence algébrique pour les métriques σ_{n}. Si on fixe un point x_{n} dans M et un repère orthonormé de l’espace tangent en x_{n}, en identifiant ce point au point O ∈ ℍ^{3} et ce repère au repère orthonormé canonique de l’espace tangent T_{O}ℍ^{3}, on peut définir une représentation ρ_{n} : π_{1}(M) → Isom(ℍ^{3}) associée à σ_{n}. La suite (σ_{n}) \underline{converge algébriquement} si on peut choisir les points bases et les repères de l’espace tangent de sorte que ρ_{n} converge vers un homomorphisme ρ_{∞} : π_{1}(M) → Isom(ℍ^{3}), en ce sens que ρ_{n}(g) converge vers ρ_{∞}(g) pour tout g ∈ π_{1}(M). De manière similaire, si (s_{n}) est une suite de métriques hyperboliques sur une composante ∂^{j}M de ∂M, on peut lui associer une suite de représentations r_{n} : π_{1}(∂^{j}M) → Isom(ℍ^{2}) bien définie à conjugaison près ; la convergence algébrique de (s_{n}) est la convergence, à conjugaison près, des représentations r_{n}.

Remarquons que si σ_{n} converge algébriquement, on a, a priori, seulement une équivalence d’homotopie entre l’intérieur de M et ℍ^{3}/ρ_{∞}(π_{1}(M)). Nous verrons dans la section suivante qu’ici l’équivalence d’homotopie peut être homotopée en un homéomorphisme. Ceci signifie que ρ_{∞} est associée à une métrique hyperbolique complète sur l’intérieur de M.

Nous allons en premier lieu établir, comme dans [BoO] un lemme qui porte sur les longueurs l_{σ_{n}}(λ_{n}) des lieux de plissages λ_{n}. Notons λ_{n}^{i} les différentes composantes de λ_{n}, on définit l_{σ_{n}}(λ_{n}) = ∑_{i} p(λ_{n}^{i})l_{σ_{n}}(λ_{n}^{i}) où p(λ_{n}^{i}) est le poids de λ_{n}^{i}.

Lemme 4.1. Les longueurs l_{σ_{n}}(λ_{n}) ont une borne supérieure finie.

Démonstration. Supposons que ce n’est pas le cas. Comme, pour tout n, λ_{n} est une multicourbe pondérée, les preuves des lemmes 9 et 13 de [BoO] fournissent une suite de disques essentiels m_{n} tels que i(∂m_{n}, λ_{n}) ⟶ 2π. Quitte à extraire, on peut supposer que ∂m_{n} converge géométriquement vers une lamination géodésique μ. D’après le critère de Casson (cf. théorème B.1), μ contient une feuille homoclinique l (éventuellement fermée). Montrons que i(l, λ) ≤ 2π, la condition c_{1}) donne alors la contradiction recherchée. Soit k un arc de l tel que ∂k ∩ λ = ∅; pour n assez grand, le bord de k est contenu dans le complémentaire de λ_{n} et m_{n} contient un arc k_{n} proche de k, de sorte que chaque point de ∂k_{n} appartient à la même composante du complémentaire de λ_{n} que le point correspondant de ∂k. On a alors i(k, λ_{n}) = i(k_{n}, λ_{n}) ≤ i(m_{n}, λ_{n}), d’où

i(k, λ) = lim_{n→∞} i(k, λ_{n}) = lim_{n→∞} i(k_{n}, λ_{n}) ≤ lim_{n→∞} i(m_{n}, λ_{n}) ≤ 2π.

En considérant de tels arcs k qui tendent vers l, on a alors i(l, λ) ≤ 2π.

4.1 Construction de la représentation ρ_{∞}

Nous allons construire la métrique σ_{∞} comme valeur d’adhérence de la suite (σ_{n}). En premier lieu, la proposition suivante va nous permettre de montrer que la suite (σ_{n}) a au moins une valeur d’adhérence pour la topologie algébrique (nous verrons plus tard que cette valeur d’adhérence correspond à une métrique sur l’intérieur de M) :

Proposition 6. Soient M une variété hyperbolique compacte, orientable de dimension 3 et λ ∈ P(M) une lamination géodésique mesurée ; supposons qu’il existe une suite de multicourbes pondérées λ_{n} telles que :

– i) pour tout n, λ_{n} est la lamination géodésique mesurée d’une métrique géométriquement finie σ_{n};

– ii) les laminations géodésiques mesurées λ_{n} convergent vers λ pour la topologie de ML(∂M) ;

– iii) les supports des λ_{n} convergent vers le support de λ pour la topologie de Hausdorff. Alors quitte à extraire, la suite σ_{n} converge algébriquement.

Démonstration. Nous allons montrer la proposition 6 par l’absurde. Supposons qu’aucune suite extraite de (σ_{n}) ne converge algébriquement. D’après la théorie développée par Morgan et Shalen dans [MoS1], quitte à extraire, σ_{n} tend vers une action minimale à petits stabilisateurs d’arêtes de π_{1}(M) sur un arbre réel A. Cette action a la propriété suivante : si c est un élément de π_{1}(M) qui ne fixe aucun point de A et c_{n}^{∗} ⊂ M est la géodésique pour la métrique σ_{n} qui représente c, alors la suite (l_{σ_{n}}(c_{n}^{∗})) n’est pas majorée. En particulier, d’après le lemme 4.1 et la condition iii), si λ^{i} est une feuille fermée de λ, alors λ^{i} a un point fixe dans A.

Soit ∂^{j}M une composante de ∂M ; grâce à l’inclusion i_{∗} : π_{1}(∂^{j}M) → π_{1}(M), on a une action de π_{1}(∂^{j}M) sur A. Notons l_{A}(c) la distance de translation de i_{∗}(c) sur A. D’après [MoO], on peut construire une lamination géodésique mesurée β, telle qu’il existe un morphisme Φ : A_{β} → A_{∂^{j}M} de l’arbre dual de β dans le sous-arbre minimal de A invariant par l’action de π_{1}(∂^{j}M). Par construction, les points de branchement de ce morphisme sont les projections de composantes connexes de ∂^{j}M − β. Comme l’action de π_{1}(∂^{j}M) sur A_{∂^{j}M} n’est pas à petits stabilisateurs d’arêtes, f n’est pas, a priori, un isomorphisme et il existe plusieurs laminations β ayant cette propriété. Nous allons voir comment construire une telle lamination β qui n’intersecte pas λ transversalement. De résultats de [KlS] et [MoS2], nous déduirons ensuite que β est annulaire. C’est cette contradiction avec la condition b_{1}) qui nous permettra de conclure.

Pour chaque minimal exceptionnel λ^{i} de λ, notons S(λ^{i}) la surface embrassée par λ^{i}. Soit δ la réunion des feuilles fermées de λ et des composantes des bords effectifs ∂′S̄(λ^{i}) des surfaces embrassées par les minimaux exceptionnels λ^{i} de λ ∩ ∂M. Pour n assez grand, étendons λ_{n} ∪ δ en une multi-courbe δ_{n} dont les composantes du complémentaire sont des pantalons. D’après Morgan et Otal ([MoO]), pour chaque composante ∂^{j}M de ∂M, il existe une lamination géodésique mesurée β_{n} ⊂ ML(∂^{j}M) et un morphisme équivariant Φ_{n} de l’arbre réel A_{β_{n}} dual de β_{n} dans A tel que pour toute composante δ_{n}^{i} de δ_{n}, l_{A}(δ_{n}^{i}) = l_{A_{β}}(δ_{n}^{i}). Rappelons brièvement comment une telle lamination β_{n} est construite dans [Ot2]. Considérons une triangulation T de ∂^{j}M dont le 0-squelette est contenu dans δ_{n} et dont le 1-squelette contient δ_{n}. On construit une application équivariante ϕ_{n} du revêtement universel ℍ^{2} de ∂^{j}M dans A de la façon suivante : soit S̆^{0} ⊂ ℍ^{2} un relevé du 0-squelette de T ; chaque point x̆ de S̆^{0} est contenu dans une composante δ̆_{n}^{i} de la préimage de δ_{n} ∩ ∂^{j}M dans ℍ^{2}. On choisit pour ϕ_{n}(x̆) ⊂ A ou bien un point de l’axe de i_{∗}(δ_{n}^{i}) ou bien un point fixe de i_{∗}(δ_{n}^{i}). On définit ensuite ϕ_{n} sur toute la préimage de S^{0} par équivariance puis on la prolonge sur le 1-squelette et enfin sur le 2-squelette en une application ϕ_{n} équivariante, transverse à une lamination mesurée β_{n}. A cette application ϕ_{n} est associée (par passage au quotient) une application Φ_{n} de l’arbre A_{β_{n}} dual de β_{n} dans A. Avec cette construction, si l_{A}(δ_{n}^{i}) > 0, alors la restriction de Φ_{n} à l’axe de δ_{n}^{i} est une isométrie et son image est l’axe de i^{∗}(δ_{n}^{i}) dans A. Tandis que si l_{A}(δ_{n}^{i}) = 0 (en particulier si δ_{n}^{i} est une feuille fermée de λ), i(δ_{n}^{i}, β_{n}) = 0. Soit λ^{i} un minimal exceptionnel de λ tel que i_{∗}(π_{1}(S(λ^{i}))) a un point fixe global X dans A; dans la construction de ϕ_{n} prenons ϕ_{n}(x̆) = X pour tout x̆ dans le relevé de S(λ^{i}) qui intersecte S̆^{0}. On construit ainsi une lamination β_{n} telle que si i_{∗}(π_{1}(S(λ^{i}))) a un point fixe global dans A, alors β_{n} ∩ S(λ^{i}) = ∅ (i.e. β_{n} ∩ S̄(λ^{i}) ⊂ δ). Faisons la même construction pour chaque composante de ∂M et notons encore β_{n} ⊂ ML(∂M) la lamination géodésique mesurée obtenue. Quitte à extraire, on peut supposer que les supports des β_{n} convergent géométriquement vers une lamination géodésique β. En utilisant comme dans [KlS] un argument de réalisation de réseau ferroviaire, nous allons montrer que β n’intersecte pas λ transversalement. La lamination géodésique α ⊂ ∂^{j}M est dite \underline{réalisée} dans l’arbre réel A s’il existe une application continue équivariante ϕ du revêtement universel ℍ^{2} de ∂^{j}M dans A dont la restriction à chaque feuille de la préimage de α est injective.

Affirmation 4.2. La lamination géodésique β n’intersecte pas λ transversalement.

Démonstration. Si λ^{j} est une feuille fermée de λ, alors ∀n, i(β_{n}, λ^{j}) = 0 donc β n’intersecte pas λ^{j} transversalement. Supposons que β intersecte λ transversalement, il existe alors un minimal exceptionnel λ^{i} de λ qui intersecte β transversalement. Soit λ_{n}^{i} une composante de λ_{n} ∩ S(λ^{i}) ; notons que pour n assez grand, i^{∗}(λ_{n}^{i}) n’a pas de point fixe dans A. Sinon, quitte à extraire, i^{∗}(λ_{n}^{i}) a un point fixe dans A et alors, par construction, β_{n} n’intersecte pas λ_{n}^{i} transversalement donc β n’intersecte pas λ^{i} transversalement.

Comme λ^{i} intersecte β, il existe un réseau ferroviaire τ portant λ^{i} tel que τ est réalisé dans A_{β_{n}} pour n assez grand, c’est-à-dire que si τ̆ est la préimage de τ dans le revêtement universel ℍ^{2} de ∂^{j}M ⊃ τ, il existe une application g_{n} : ℍ^{2} → A_{β_{n}} continue, équivariante, constante sur les traverses de τ̆ et injective le long des rails de τ̆. Comme i^{∗}(λ_{n}^{i}) n’a pas de point fixe dans A, la restriction de Φ_{n} à l’axe de λ_{n}^{i} est une isométrie. Pour n assez grand, chaque rectangle de τ̆ contient un arc d’un relevé de λ_{n}^{i} donc Φ_{n} ∘ g_{n} est homotope à une réalisation de τ dans A (cf. [KlS]). D’après [Ot2] une telle application peut être homotopée en une réalisation de λ^{i} dans A. Dans ce cas un théorème de continuité de J.-P. Otal ([Ot2, Théorème 4.0.1]) entraîne que l_{σ_{n}}(λ_{n}^{i}) ⟶ ∞ ce qui contredit le lemme 4.1.

Si β est une multi-courbe, alors, pour n assez grand, β_{n} = β. Dans ce cas, l’affirmation 4.2 contredit la minimalité de l’action de π_{1}(M) sur A. En effet, β_{n} = β n’intersecte pas λ transversalement, donc, d’après les conditions b_{1}) et c), un voisinage annulaire de β_{n} ne contient ni disques, ni anneaux, ni rubans de Möbius essentiels. D’après [MoS2, corollaire IV 1.3], ceci entraîne que l’action de π_{1}(M) laisse un point de A invariant et a fortiori que A n’est pas minimal.

Considérons ensuite le cas où β n’est pas une multi-courbe. Avant d’établir que β est annulaire, nous allons montrer que pour chaque composante connexe β^{j} de β qui n’est pas une courbe simple, S(β^{j}) est incompressible et en déduire que la suite des supports des β_{n} est constante.

Lemme 4.3. Soit β^{j} une composante de β qui n’est pas une courbe simple ; alors S(β^{j}) est incompressible.

Démonstration. Supposons que β possède une composante β^{j} qui n’est pas une courbe simple et pour laquelle S(β^{j}) est compressible. D’après le lemme 3.2, S(β^{j}) contient une multi-courbe γ par rapport à laquelle β^{j} est en position prétendue et telle que γ contient un système μ de méridiens admissible pour (M, S(β)). Comme la suite de laminations géodésiques (β_{n}∩S(β^{j})) converge géométriquement vers β^{j}, on en déduit que pour n suffisamment grand β_{n} ∩ S(β^{j}) est en position prétendue par rapport à γ et, d’après le fait B.3, elle ne contient pas d’arcs de compression vers μ. Ceci nous permet d’utiliser un résultat dû à G. Kleineidam et J. Souto ([KlS]) :

Proposition 7. Soit S ⊂ ∂M une surface compressible, α ⊂ ML(S) une lamination géodésique mesurée telle qu’il existe un morphisme équivariant f : A_{α} → A. Soit μ^{1} ⊂ S un méridien tel que μ^{1} intersecte α transversalement et que α ne contient pas d’arcs de compression vers μ^{1} ; alors il existe une suite de méridiens (ν_{n}) ⊂ S qui converge géométriquement vers une lamination ν qui n’intersecte pas α transversalement.

Démonstration. D’après [KlS], si α satisfait les hypothèses de cette proposition, alors il existe une feuille homoclinique l ⊂ S telle que l ∪ α est une lamination géodésique. Notons α′ ⊂ α la réunion des minimaux de l̄; d’après la construction de [KlS], α′ est en position prétendue par rapport à μ^{1}. Toujours d’après [KlS] ceci entraîne qu’il existe une suite (ν_{n}) de méridiens de S qui vérifie :

- (ν_{n}) converge géométriquement vers une lamination ν qui n’inter- secte pas l transversalement

- pour tout voisinage V(l) de l, il existe n_{0} tel que pour n ≥ n_{0}, ν_{n} peut être homotopé dans V(l).

De cette dernière propriété on déduit que ν n’intersecte pas α−α′ et la première propriété nous permet alors de conclure que ν n’intersecte pas α transversalement.

En appliquant cette proposition à chacune des laminations β_{n} ∩ S(β^{j}), on en déduit que S(β^{j}) contient une suite de méridiens qui converge géométriquement vers une lamination géodésique ν qui n’intersecte pas β^{j} transversalement. Comme λ n’intersecte pas β^{j} transversalement, alors λ ∩ S(β^{j}) ⊂ β^{j} et ν n’intersecte pas λ transversalement. D’après le critère de Casson, ν contient une feuille homoclinique, ce qui contredit le lemme 3.3.

Déduisons-en que le support de β_{n} est indépendant de n. Soit β^{j} une composante connexe de β; si β^{j} est une feuille fermée, alors pour tout n, β^{j} ⊂ β_{n}. Supposons donc que β^{j} n’est pas une feuille fermée. D’après ce qui précède, S(β^{j}) est incompressible et donc l’action de i_{∗}(π_{1}(S(β^{j}))) sur son sous-arbre invariant minimal A_{S(β^{j})} ⊂ A est à petits stabilisateurs d’arêtes. Comme β n’intersecte pas ∂′S̄(β^{j}), alors, pour n assez grand, β_{n} n’intersecte pas ∂′S̄(β^{j}). On en déduit d’une part que β_{n}^{j} = β_{n} ∩S(β^{j}) est une lamination géodésique mesurée et d’autre part que, pour chaque composante de ∂′S̄(β^{j}), l’action de l’élément correspondant de π_{1}(∂M) a un point fixe dans A_{S(β^{j})}. On peut donc appliquer le théorème de Skora [Sk], d’après lequel la lamination géodésique mesurée β_{n}^{j} est duale de l’action de π_{1}(S(β^{j})) sur A_{S(β^{j})}. En faisant ce raisonnement pour chaque composante connexe de β, on en déduit que la suite des supports des β_{n} est constante. La lamination géodésique β est le support d’une lamination géodésique mesurée β_{n} de cette suite ; munissons β de la mesure de β_{n} et notons β la lamination géodésique mesurée obtenue.

Montrons enfin que β est annulaire. Comme β est maintenant une lamination géodésique mesurée, son support est une réunion de courbes simples et de minimaux exceptionnels. A la réunion des surfaces S(β^{j}) embrassées par les minimaux exceptionnels β^{j} de β, ajoutons des voisinages annulaires des feuilles fermées de β qui ne sont pas contenues dans le bord effectif ∂′S̄(β^{j}) d’une surface embrassée par un minimal exceptionnel de β; notons S(β) la surface ainsi obtenue. Par définition de β, pour toute composante Σ de ∂M − S(β), i_{∗}(π_{1}(Σ)) a un point fixe dans A.

Lemme 4.4. La lamination géodésique β est annulaire.

Démonstration. Supposons que S(β) contient un courbe parabolique μ. Puisque β n’intersecte pas λ transversalement (affirmation 4.2), d’après la condition b_{1}), μ n’est pas contenue dans β, donc μ est contenue dans la surface embrassée par un minimal exceptionnel β^{j} de β. Comme ρ_{n}(i_{∗}(μ)) est parabolique pour tout n, l’action de i^{∗}(μ) a un point fixe dans A_{S(β^{j})}, donc β^{j} n’intersecte pas μ. D’après l’affirmation 2.8 on en déduit que soit μ ⊂ ∂′S(β^{j}), soit μ ⊂ β^{j}. Dans les deux cas, on obtient une contradiction entre la condition b_{1}) et l’affirmation 4.2. La surface S(β) ne contient donc pas de courbes paraboliques.

Comme S(β) est incompressible (et ne contient pas de courbes paraboliques), on peut considérer une sous-variété caractéristique W relative à S(β) (voir section 2.3). Pour chaque composante Σ de ∂M −S(β), i_{∗}(π_{1}(Σ)) a un point fixe dans A, donc, d’après [MoS2, théorème IV 1.2], on peut isotoper W de manière que le support de β soit contenu dans W ∩ ∂M. Nous allons alors utiliser, comme dans [BoO] la structure de W. Nous sommes dans le cas où β n’est pas une multi-courbe pondérée donc β contient un minimal exceptionnel β^{1}. Ce minimal β^{1} est contenu dans le bord d’un I-fibré W^{1} ⊂ W. Soit F^{1} la surface de base du fibré W^{1} et q : ∂W^{1} → F^{1} la projection le long des fibres. D’après le théorème de Skora, pour chaque composante Σ de W^{1} ∩ ∂M, Σ ∩ β est la lamination duale de l’action de π_{1}(Σ) sur son sous-arbre invariant minimal dans A. Comme cette action se factorise par l’action de π_{1}(W^{1}) = π_{1}(F^{1}), il existe une lamination géodésique mesurée β′ ∈ ML(F^{1}) telle que β ∩ W^{1} ⊃ p^{−1}(β′). On en déduit que β est annulaire.

Comme β est annulaire, la condition b_{1}) contredit le fait que β n’inter- secte pas λ. Cette contradiction achève la preuve de la proposition 6.

Remarque. D’après un théorème de V. Chuckrow, ρ_{∞} est fidèle et discrète.

Nous allons ensuite compléter la proposition 6, afin d’obtenir le lemme de fermeture (proposition 5) en montrant que ρ_{∞} est associée à une métrique σ_{∞}, géométriquement finie et dont la lamination géodésique mesurée de plissage est λ.

4.2 Fin de la preuve du lemme de fermeture

Démonstration. Considérons une suite de multi-courbes pondérées λ_{n} ⊂ ML(∂M) comme dans l’énoncé du lemme de fermeture ; à chaque métrique σ_{n}, on peut associer une représentation ρ_{n} : π_{1}(M) → Isom(ℍ^{3}) définie à conjugaison près. D’après la proposition 6, on peut choisir les ρ_{n} de sorte que, quitte à extraire, la suite (ρ_{n}) converge vers une représentation ρ_{∞} : π_{1}(M) → Isom(ℍ^{3}) fidèle et discrète. Notons λ^{(p)} la réunion des feuilles de poids π de λ. D’après la condition iu), les feuilles de λ^{(p)} correspondent à des pointes de rang 1 de ρ_{n}(π_{1}(M)) pour tout n. Comme (λ_{n}) converge vers λ dans ML(∂M), pour n assez grand, toute pointe de rang 1 de ρ_{n}(π_{1}(M)) est représentée par une feuille de λ^{(p)}. Comme ρ_{n} converge, les feuilles de λ^{(p)} correspondent à des éléments paraboliques de ρ_{∞}(π_{1}(M)). Considérons une composante S de ∂M −λ^{(p)} ; l’application f_{n} = i∘h′_{n} : S → N(ρ_{n}) composée de l’inclusion i : S → M et de l’extension naturelle h′_{n} : M − λ^{(p)} → N(ρ_{n}) de l’homéomorphisme h_{n} : M → N(ρ_{n})^{ep} est une \underline{surface plissée}. C’est-à-dire que si s_{n} est la métrique induite par f_{n}, s_{n} est une métrique hyperbolique complète et tout point x ∈ S est contenu dans l’intérieur d’un segment k, géodésique pour s_{n}, tel que f_{n}(k) est un segment géodésique de ℍ^{3}/ρ_{n}(π_{1}(M)). Une telle surface plissée f_{n} est totalement géodésique sur le complémentaire d’une lamination géodésique (dans le cas de f_{n}, il s’agit du support de λ_{n}).

En comparant certaines longueurs sur (S, s_{n}) avec des longueurs dans (M, σ_{n}), grâce à un lemme d’approximation des courbes légèrement plissées (lemme A.1), nous allons voir que la convergence algébrique de (σ_{n}) entraîne la convergence algébrique d’une suite extraite de (s_{n}). Ceci nous permettra d’extraire de la suite des surfaces plissées f_{n} une sous-suite convergente et de conclure comme dans [BoO].

Lemme 4.5. Quitte à extraire la suite de métriques (s_{n}) converge algébriquement.

Démonstration. Montrons tout d’abord que la suite (s_{n}) est bornée dans l’espace modulaire. L’espace modulaire de S étant le quotient de l’espace de Teichmüller par le groupe des difféotopies de S, ceci signifie qu’il existe une suite (ψ_{n}) de difféomorphismes de S telle que la suite des métriques (ψ_{n∗}s_{n}) est bornée dans l’espace de Teichmüller. Pour cela, il suffit, d’après le lemme de Mumford (cf. [CEG]), de montrer qu’il existe une constante A > 0 qui, pour tout n, minore la longueur de la plus petite géodésique de (S, s_{n}).

Affirmation 4.6. La suite s_{n} est bornée dans l’espace modulaire.

Démonstration. Supposons qu’il existe une suite de géodésiques simples α_{n} telles que l_{s_{n}}(α_{n}) ⟶ 0. On peut supposer que, quitte à extraire, α_{n} converge géométriquement vers une lamination géodésique α.

i) Considérons le cas où α intersecte λ transversalement. Soit I un segment de α qui intersecte λ transversalement ; munissons α_{n} d’une mesure transverse de poids 1. Pour n assez grand, on a alors i(α_{n}, λ_{n}) > \frac{i(I,λ)}{2} > 0. Comme l_{s_{n}}(α_{n}) → 0, alors α_{n} est l’âme d’un tube de Margoulis de plus en plus large. Donc, si k est un segment de λ_{n} qui intersecte α_{n} uniquement en ses extrémités, alors il existe K_{n} tel que l_{s_{n}}(k) ≥ 2K_{n} et K_{n} ⟶ ∞. On en déduit l_{s_{n}}(λ_{n}) ≥ i(λ_{n}, α_{n})K_{n} ⟶ ∞ ce qui est impossible car l_{s_{n}}(λ_{n}) = l_{σ}(λ_{n}) est bornée (lemme 4.1).

ii) Si α n’intersecte pas λ transversalement, nous allons distinguer deux sous-cas, suivant que le support de α contient une feuille fermée ou pas.

ii’) Si le support de α contient une feuille fermée α^{1} ; comme celle-ci n’intersecte pas λ elle n’intersecte pas δ non plus (la multi-courbe δ est la même que celle définie au début de la preuve de la proposition 6 : c’est la réunion des feuilles fermées de λ et des composantes des bords effectifs ∂′S̄(λ^{i}) des surfaces embrassées par les minimaux exceptionnels λ^{i} de λ∩∂M). Pour tout η > 0 ; nous allons construire une courbe simple c_{η} qui intersecte transversalement α^{1} en un ou deux points et telle que i(c_{η}, λ − α^{1}) < η. Soit η > 0. Notons S^{1} et S^{2} les composantes de S − (δ ∪ α^{1}) bordées par α^{1} ; nous avons deux situations possibles suivant que S^{1} et S^{2} sont confondues ou non.

Si S^{1} = S^{2} ; comme ∂S^{1} n’intersecte pas λ transversalement, il existe une courbe simple c′ ⊂ S^{1} telle que i(c′, λ) ≤ η et un arc k tels que k ∩ c′ = ∂k, i(k, λ − α^{1}) ≤ \frac{η}{2} et que k intersecte α^{1} en un seul point. Par chirurgie de c′ le long de k, on obtient, après homotopie, deux géodésiques simples fermées c_{η} et c′′ qui intersectent α^{1} en un point et telles que i(c_{η}, λ − α^{1}) ≤ η.

Si S^{1} ≠ S^{2} ; il existe deux courbes fermées simples c_{1} ⊂ S^{1} et c_{2} ⊂ S^{2} telles que i(c_{1}, λ) ≤ \frac{η}{4} et i(c_{2}, λ) ≤ \frac{η}{4} et un arc k joignant c_{1} à c_{2} tels que i(k, λ − α^{1}) ≤ \frac{η}{4}. La courbe PSfrag replacements

α^{1}
k
c′
S^{1}
c_{2}
S^{2}

S^{1} = S^{2} S^{1} ≠ S^{2}

c_{1}

Fig. 3 –

c_{2}k^{−1}c_{1}k est homotope a une géodésique fermée simple c_{η} qui intersecte α^{1} en deux points et telle que i(c_{η}, λ) ≤ η (cf. figure 3).

Dans les deux cas, on a obtenu une géodésique simple fermée c_{η} qui intersecte α^{1} et telle que i(c_{η}, λ − α^{1}) ≤ η. Comme α^{1} n’est pas une feuille de poids π de λ, il existe ε > 0 tel que pour n assez grand, l’angle de plissage de N(ρ_{n}) en α^{1} est inférieur à π − ε. Notons k^{1} et k^{2} les composantes de c_{η} − α^{1} (avec éventuellement k^{1} = k^{2}) ; fixons n et notons k̃^{1} et k̃^{2} des relevés de k^{1} et k^{2} à ∂H(ρ_{n}) tels que k̃_{1} ≠ k̃_{2} et que ¯ k̃^{1} ∩ ¯ k̃^{2} ≠ ∅. Soient κ̃^{j}, j = 1, 2, les segments géodésiques de ℍ^{3} qui joignent les extrémités de k̃^{j} (voir figure 4). Pour j = 1 PSfrag replacements

k̃_{1}
k̃_{2}
κ̃^{1}
κ̃^{2}
gκ̃^{1}
x̃_{1}
> \frac{ε}{2}
x̃_{2}
gx̃_{1}
gk̃_{1}

Fig. 4 –

ou 2, ∂k^{j} est contenu dans α^{1} et α^{1} est contenue dans la limite géométrique de α_{n}. Donc pour n assez grand, k^{j} intersecte α_{n} en au moins deux points. Comme α_{n} est l’âme d’un tube de Margoulis très large, ceci entraîne que l_{s_{n}}(k^{j}) ⟶ ∞. Comme i(k^{j}, λ) ≤ η, alors, pour n assez grand, i(k^{j}, λ_{n}) < 2η. D’après le lemme A.2, pour η suffisamment petit, les k^{j} sont des segments C_{η}-quasi-géodésiques pour σ_{n}, donc l_{σ_{n}}(κ^{j}) ⟶ ∞. Notons g l’élément de ρ_{n}(π_{1}(M)) qui envoie k̃^{1} sur un arc qui intersecte k̃^{2} ; si k^{1} ≠ k^{2}, alors g représente c_{η} alors que si k^{1} = k^{2}, c’est le carré de l’élément représentant c_{η}. Une des conséquences de la preuve du lemme A.2 est que, pour η suffisamment petit, les segments κ̃^{1} et κ̃^{2} font, en leur extrémité commune, un angle supérieur à \frac{ε}{2} et qu’il en est de même de κ̃^{2} et g(κ̃^{1}). Soient x̃_{1} et x̃_{2} les milieux de κ̃^{1} et κ̃^{2} ; comme l’angle que font κ̃^{1} et κ̃^{2} en leur extrémité commune est minoré par \frac{ϵ}{2} et que l_{σ_{n}}(κ^{j}) ⟶ ∞; alors les longueurs des segments géodésiques [x̃_{1}, x̃_{2}] et [x̃_{2}, g(x̃_{1})] sont grandes et l’angle { \atop x̃_{1}x̃_{2}g(x̃_{1})} est proche de π. La réunion k̃ des segments géodésiques [g^{i}(x̃_{1}), g^{i}(x̃_{2})] et [g^{i}(x̃_{2}), g^{i+1}(x̃_{1})] pour i ∈ ℤ est donc une quasi-géodésique et la longueur l_{σ_{n}}(k̃/g) de sa projection dans ℍ^{3}/ρ_{n}(π_{1}(M)) est grande. Finalement, si c_{η}^{∗} est la géodésique pour σ_{n} dans la classe d’homotopie de c_{η}, alors l_{σ_{n}}(c_{η}^{∗}) → ∞, ce qui contredit la convergence algébrique de ρ_{n}.

ii”) Si le support de α ne contient pas de géodésiques fermées, alors il contient un minimal exceptionnel. Comme α n’intersecte pas λ transversalement, il existe, pour tout η > 0, une géodésique fermée c_{η} qui intersecte α transversalement et telle que i(c_{η}, λ) ≤ η. On a alors pour n assez grand i(c_{η}, λ_{n}) ≤ 2η. Pour η suffisamment petit, d’après le lemme d’approximation des courbes légèrement plissées (lemme A.1), c_{η} est une C_{η}-quasi-géodésique pour σ_{n}. Comme l_{s_{n}}(α_{n}) ⟶ 0, on a encore l_{s_{n}}(c_{η}) ⟶ ∞, donc l_{σ_{n}}(c_{η}^{∗}) ⟶ ∞ ce qui contredit la convergence algébrique de ρ_{n}.

Finalement, il n’existe pas de suite (α_{n}) de courbe fermées telle que l_{s_{n}}(α_{n}) ⟶ 0 et le lemme de Mumford permet de conclure.

Comme (s_{n}) est bornée dans l’espace modulaire, on peut en extraire une sous-suite qui converge dans l’espace modulaire, c’est-à-dire qu’il existe une suite de difféomorphismes ψ_{n} : S → S tels que ψ_{n∗}s_{n} converge algébriquement vers une métrique s_{∞}. Complétons la multicourbe δ ∩S en une décomposition en pantalons de S −⋃_{j} S(λ^{j}) et notons δ_{S} la multi-courbe ainsi obtenue.

Soit δ_{S}^{i} une composante de δ_{S} ; comme δ_{S}^{i} n’intersecte pas λ_{n} transversalement, on a l_{ψ_{n∗}s_{n}}(ψ_{n}^{−1}(δ_{S}^{i})) = l_{s_{n}}(δ_{S}^{i}) = l_{ρ_{n}}(δ_{S}^{i∗}) et l_{ρ_{n}}(δ_{S}^{i∗}) ⟶ l_{ρ_{∞}}(δ_{S}^{i∗}). Donc l_{s_{n}}(δ_{S}) est bornée. Notons r_{n} : π_{1}(S) → Isom(ℍ^{2}) une représentation associée à ψ_{n∗}s_{n}, telle que (r_{n}) converge. Comme r_{n} converge et que l_{ψ_{n∗}s_{n}}(ψ_{n}^{−1}(δ_{S})) converge, alors, quitte à extraire, r_{n}(ψ_{n}^{−1}(δ_{S})) converge. Comme, en dimension 2, la limite algébrique et la limite géométrique sont confondues, alors, quitte à extraire, ψ_{n}^{−1}(δ_{S}) est constante à homotopie près. On en déduit qu’il existe n_{0} tel que ψ_{n} ∘ ψ_{n_{0}}^{−1}(δ_{S}) = δ_{S}. On peut donc écrire (à isotopie près) le difféomorphisme ψ_{n} ∘ ψ_{n_{0}}^{−1} comme composés de difféomorphismes qui laissent invariant le complémentaire d’une composante de S−δ_{S} et de twists de Dehn le long des composantes de δ_{S}. Notons que de tels difféomorphismes commuttent.

Soit R une composante de S − δ_{S} ; si R est un pantalon alors la suite (ψ_{n} ∘ ψ_{n_{0}}^{−1}_{|R}) est constante à isotopie près. Si R n’est pas un pantalon, c’est une surface embrassée par un minimal exceptionnel λ^{j} de λ. Supposons que la suite des restrictions de s_{n} à R n’est pas bornée. Comme les longueurs des composantes de ∂R convergent, alors, quitte à extraire, s_{n} tend vers une classe projective de lamination géodésique mesurée γ dans la compactification de Thurston de l’espace de Teichmüller de R (cf. [Th2] ou [FLP]). Si on préfère un autre point de vue, le théorème de Skora permet de relier ceci à la théorie de Morgan et Shalen : n’étant pas bornée, la suite (s_{n}) tend vers une action minimale à petits stabilisateurs d’arêtes de π_{1}(R) sur un arbre réel T . En appliquant le théorème de Skora [Sk], on construit une lamination géodésique mesurée duale de cette action. D’après la définition de l’action de π_{1}(R) sur T , cette lamination est dans la classe projective de γ. Comme la longueur de la multi-courbe pondérée λ_{n}∩R est bornée (affirmation 4.1), alors i(λ^{j}, γ) = 0 (cf. [Th2], [FLP]). Nous allons adapter le raisonnement du ii”) de l’affirmation 4.6. Comme λ^{j} est arationnelle dans S(λ^{j}) = R (affirmation 2.8), alors γ et λ^{j} ont le même support. Il existe donc une courbe simple c_{η} telle que i(c_{η}, λ) ≤ η et i(c_{η}, γ) > 0. On en déduit que l_{s_{n}}(c_{η}) ⟶ ∞ et le lemme d’approximation des courbes légèrement plissées entraîne que l_{σ_{n}}(c_{η}^{∗}) ⟶ ∞. Ceci contredit la convergence algébrique de ρ_{n}(π_{1}(M)) et cette contradiction montre que la suite des restrictions de s_{n} à R est bornée. Comme le groupe modulaire de R agit proprement sur l’espace de Teichmüller de R, alors, quitte à extraire, la suite (ψ_{n} ∘ ψ_{n_{0}}^{−1}_{|R}) est constante à isotopie près.

On déduit de tout ce qui précède que, quitte à extraire, ψ_{n} ∘ψ_{n_{0}}^{−1} est un composé de twists de Dehn le long des composantes de δ_{S}. Supposons qu’il existe une composante δ_{S}^{i} ⊂ δ_{S} telle que le nombre de twists de Dehn le long de δ_{S}^{i} dans la décomposition de ψ_{n} ∘ ψ_{n_{0}}^{−1} tend vers l’infini avec n. On est alors dans l’une des situations étudiées dans l’affirmation 4.6. Il existe en effet une courbe c_{η} qui intersecte δ_{S}^{i} en un ou deux points et qui vérifie i(c_{η}, λ − δ_{S}^{i}) ≤ η. Notons k^{1} et k^{2} les composantes de c_{η} − δ_{S}^{i}. Nous allons voir que nous sommes dans la situation du cas ii’) de l’affirmation 4.6. La contradiction obtenue dans ce cas prouve que le nombre de twists de Dehn le long de δ_{S}^{i} est borné. Pour nous ramener au cas ii’), il nous suffit de montrer que pour j = 1, 2, l_{s_{n}}(k^{j}) ⟶ ∞. Comme le nombre de twists de Dehn le long de δ_{S}^{i} tend vers l’infini, en chaque point de c_{η} ∩ δ_{S}^{i}, l’angle entre δ_{S}^{i} et c_{η} tend vers 0 (cf. [FLP]). Comme l_{s_{n}}(δ_{S}^{i}) est bornée, il existe ε > 0 tel que pour tout n, un ε-voisinage V de δ_{S}^{i} est un anneau plongé dans ∂M. Pour j = 1 ou 2, en chaque extrémité de k^{j}, l’angle entre k^{j} et δ_{S}^{i} tend vers 0, ceci entraîne que pour n assez grand, V contient un segment très long de k^{j}. Il s’ensuit que l_{s_{n}}(k^{j}) ⟶ ∞. On en déduit que le nombre de twists de Dehn de ψ_{n} le long de chaque composante de δ_{S} est borné, et donc que, quitte à extraire, la suite s_{n} converge algébriquement vers une métrique que nous noterons encore s_{∞}.

A n fixé, choisissons une identification du revêtement universel de S avec ℍ^{2} qui induise une métrique dans la classe d’isotopie de s_{n}. Cette identification fournit une représentation r_{n} : π_{1}(S) → Isom(ℍ^{2}). D’après le lemme 4.5, on peut choisir cette identification de façon que la suite (r_{n}) converge vers une représentation r_{∞} : π_{1}(S) → Isom(ℍ^{2}). Choisissons un relevé f̆_{n} : ℍ^{2} → ℍ^{3}. Ceci est équivalent au choix du point base O de ℍ^{2} et de la classe d’homotopie d’un arc k allant dans M du point base utilisé pour définir π_{1}(M) à la projection de O sur S ⊂ ∂M. Le lemme qui suit ([BoO, lemme 17]) assure qu’on peut choisir (f̆_{n}) de façon que les images des applications f̆_{n} intersectent un même compact de ℍ^{3}.

Notons x_{n} l’image dans ℍ^{3}/ρ_{n}(π_{1}(M)) du point base O ∈ ℍ^{3}. On a :

Lemme 4.7 ([BoO], lemme 17). Il existe un arc k_{n} de longueur uniformément bornée qui joint f_{n}(S) au point base x_{n}.

Considérons le relevé f̆_{n} de f_{n} défini par l’arc k_{n} du lemme 4.7. D’après le théorème d’Ascoli, on peut extraire une sous-suite telle que la suite f̆_{n} converge uniformément sur tout compact vers une application f̆_{∞} : ℍ^{2} → ℍ^{3}. Pour tout g ∈ π_{1}(S), on a f̆_{n} ∘r_{n}(g) = ρ_{n}(i_{∗}(g))∘f̆_{n}. Or r_{n} converge algébriquement vers r_{∞} donc f̆_{∞} ∘ r_{∞}(g) = ρ_{∞}(i_{∗}(g)) ∘ f̆_{∞}. On en déduit que l’application f̆_{∞} passe au quotient en une application f_{∞} : S → ℍ^{3}/ρ_{∞}(π_{1}(M)) qui, d’après [CEG], est une surface plissée.

La suite et la fin de la preuve du lemme de fermeture sont similaires à celles de [BoO], nous allons en dresser ici les grandes lignes.

Montrons que la surface plissée f_{∞} est convexe. Soit (x_{i}) ⊂ (ℍ^{2})^{ℕ} un ensemble dénombrable tel que chaque face totalement géodésique de f̆_{∞}(ℍ^{2}) contient dans son intérieur un unique élément de {f̆_{∞}(x_{i}), i ∈ ℕ}. Notons P_{i} le plan géodésique tangent en f̆_{∞}(x_{i}) à f̆_{∞}(ℍ^{2}) et T_{k} la réunion des adhérences des composantes connexes de ⋃_{i=1}^{k}(P_{i} − ⋃_{j=1,j≠i}^{k} P_{j}) qui contiennent l’un des f̆_{∞}(x_{i}) pour i ≤ k. Par convergence de f̆_{n}, T_{k} est la limite d’une suite de toits polyhédraux des f̆_{n}(ℍ^{2}). Par continuité, f̆_{∞}(ℍ^{2}) est entièrement contenue dans l’adhérence d’une composante de ℍ^{3} − T_{k} et, en faisant tendre k vers +∞, on en déduit que f̆_{∞}(ℍ^{2}) est une surface convexe (cf. [BoO]).

En opérant ainsi pour chaque composante de ∂_{χ<0}M −λ^{(p)}, on obtient une surface plissée f_{∞} : ∂_{χ<0}M − λ^{(p)} → ℍ^{3}/ρ_{∞}(π_{1}(M)). Si cette application n’est pas injective, il existe deux points x, x′ ⊂ ∂M qui ont la même image par f_{∞}. Par convergence des f_{n} ceci entraîne que les convexes N(ρ_{n}) “s’applatissent”, au sens où la limite de h′_{n}(∂_{χ<0}M − λ^{(p)}) = ∂N(ρ_{n}) est contenue dans un plan ℍ^{2}/ρ_{∞}(π_{1}(M)) ⊂ ℍ^{3}/ρ_{∞}(π_{1}(M)). Or, dans ce cas, ρ_{∞} est fuchsienne et λ ne peut pas satisfaire la condition b_{1}) (ou la condition c) si M est un fibré en intervalles sur un pantalon). On en déduit que f_{∞} est un homéomorphisme sur son image et que son image borde un convexe C ⊂ ℍ^{3}/ρ_{∞}(π_{1}(M)) (cf. [BoO] pour plus de détails). A chaque composante λ^{i} de λ^{(p)}, correspondent deux bouts de ∂M − λ^{(p)} dont les images par f_{∞} sont deux anneaux non compacts, totalement géodésiques qui convergent dans ℍ^{3}/ρ_{∞}(π_{1}(M)) vers la pointe correspondant à λ^{i}. En enlevant à f_{∞}(∂M − λ^{(p)}), pour chaque composante de λ^{(p)}, ces deux anneaux et en reconnectant le bord par un anneau compact, on obtient une surface compacte S_{∞}. Soient M′ la variété obtenue en enlevant à M un petit voisinage tubulaire de λ^{(p)} et ∂_{χ<0}M′ la réunion des composantes de ∂M′ de caractéristique d’Euler strictement négative ; on peut modifier f_{∞} pour obtenir un homéomorphisme de ∂_{χ<0}M′ dans S_{∞}. Puisque cet homéomorphisme se prolonge en une équivalence d’homotopie de M′ dans ℍ^{3}/ρ_{∞}(π_{1}(M)), S_{∞} est homologue à une réunion de tores correspondant aux pointes de rang 2 de ρ_{∞}. La réunion de S_{∞} et de ces tores borde donc un compact. Comme les pointes de rang 1 bordées par f_{∞}(∂_{χ<0}M − λ^{(p)}) − S_{∞} et les pointes de rang 2 ont un volume fini, on a ainsi prouvé que f_{∞}(∂_{χ<0}M − λ^{(p)}) borde un 3-cycle de volume fini. Chaque composante de ℍ^{3}/ρ_{∞}(π_{1}(M))−C étant un bout de volume infini (cf. [Ma]), ce 3-cycle est égal à C. Comme C est convexe, il contient le coeur de Nielsen N(ρ_{∞}) de ρ_{∞}(π_{1}(M)) et ρ_{∞} est géométriquement finie. Le bord de C étant une surface plissée, il est contenu dans N(ρ_{∞}). Les composantes de C − N(ρ_{∞}), si elles existent, sont donc des bouts de ℍ^{3}/ρ_{∞}(π_{1}(M)) − N(ρ_{∞}). Or ρ_{∞} est géométriquement finie donc de tels bouts ont un volume infini (cf. [Ma]) et ne peuvent pas être contenus dans C. On en déduit que C = N(ρ_{∞}).

Prolongeons f_{∞} : ∂_{χ<0}M − λ^{(p)} → N(ρ_{∞}(π_{1}(M))) en une équivalence d’homotopie de (int(M) ∪ ∂_{χ<0}M − λ^{(p)}, ∂_{χ<0}M − λ^{(p)}) dans (N(ρ_{∞}), ∂N(ρ_{∞})). Comme la restriction de cette équivalence d’homotopie à ∂_{χ<0}M − λ^{(p)} est un homéomorphisme, d’après [Wa3], elle est homotope à un homéomorphisme de int(M) ∪ ∂_{χ<0}M − λ^{(p)} dans N(ρ_{∞}). Comme ρ_{∞} est géométriquement finie, on peut modifier cet homéomorphisme pour obtenir un homéomorphisme de l’intérieur de M dans ℍ^{3}/ρ_{∞}(π_{1}(M)), ce qui fournit une métrique σ_{∞} associée à ρ_{∞}. Comme σ_{∞} n’est pas nécessairement convexe cocompacte, on n’est pas tout à fait dans le cadre des résultats de [KeS] et [Bo4]. Néanmoins, comme les pointes de rang 1 de σ_{∞} et des σ_{n} sont les mêmes pour tout n, σ_{∞} et σ_{n} sont conjuguées par un homéomorphisme quasi-conforme (cf. [JoM]), ce qui permet d’étendre les résultats de [KeS] et [Bo4] au cas qui nous occupe. On déduit donc de [KeS] ou [Bo4] que λ est la lamination mesurée de plissage de σ_{∞}.

5 Conclusion

Il ne nous reste plus qu’à montrer que pour toute lamination géodésique λ ∈ P(M), on peut trouver une suite de multi-courbes pondérées qui satisfont les conditions du lemme de fermeture (proposition 5). Ceci achèvera la preuve du théorème 1 que revoilà :

Théorème 1. Soient M une variété hyperbolique compacte de dimension 3 et λ ∈ ML(∂M) une lamination géodésique mesurée sur son bord. Il existe sur l’intérieur de M une métrique hyperbolique géométriquement finie non-fuchsienne σ dont λ est la lamination géodésique mesurée de plissage si et seulement si les conditions suivantes sont réalisées :

– a) toute feuille fermée de λ a un poids inférieur ou égal à π;

– b_{1}) la lamination géodésique λ est annanulaire ;

– c) i(λ, ∂D) > 2π pour tout disque essentiel D.

Démonstration. On a vu dans la section 3.1 que ces conditions sont nécessaires, montrons qu’elles sont suffisantes. Soit (λ_{n}) une suite de multi-courbes pondérées qui tend vers λ pour la topologie de ML(∂M) et dont les supports convergent géométriquement vers le support de λ. Si c est une feuille fermée de poids π de λ, d’après l’hypothèse de convergence géométrique des supports de λ_{n}, c’est, pour n assez grand, un feuille fermée de λ_{n}. On peut donc changer λ_{n} pour que c soit une feuille de poids π de λ_{n}. Afin de montrer que λ_{n} est la lamination géodésique mesurée de plissage d’une métrique géométriquement finie sur M, nous allons prouver qu’elle vérifie les hypothèses du théorème 2 de [BoO].

Vérifions tout d’abord que pour n assez grand, λ_{n} ne contient pas de feuilles de poids supérieur à π. Supposons qu’il existe des n arbitrairement grands tels que λ_{n} ait une composante c_{n} de poids strictement supérieur à π. Comme λ_{n} converge vers λ dans ML(∂M), les courbes c_{n} doivent être égales à une courbe c de λ pour n assez grand et le poids de c est supérieur ou égal à π. D’après la condition a), le poids de c est exactement π et d’après le changement fait sur les λ_{n}, pour n assez grand c_{n} = c doit être une feuille de poids π de λ_{n} ce qui est contradictoire.

Montrons ensuite que pour tout disque essentiel D, et pour n assez grand, i(λ_{n}, ∂D) > 2π. Sinon, quitte à extraire, il existe une suite D_{n} de disques essentiels tels que i(∂D_{n}, λ_{n}) ≤ 2π. Si quitte à extraire, la suite D_{n} est constante alors il existe un disque essentiel D tel que i(∂D, λ) ≤ 2π, ce qui contredit la condition c). Sinon, quitte à extraire, la suite ∂D_{n} converge géométriquement vers un lamination géodésique μ et on a vu dans la démonstration de l’affirmation 4.1 que μ contient une feuille homoclinique l telle que i(l, λ) ≤ 2π, ce qui contredit la condition c_{1}).

Il ne reste plus qu’à prouver la condition 2 de [BoO]. Supposons que quitte à extraire, il existe une suite d’anneaux ou rubans de Möbius essentiels a_{n} tels que i(∂a_{n}, λ_{n}) = 0. Quitte à extraire, ∂a_{n} converge géométriquement vers une lamination géodésique α qui n’intersecte pas λ, d’après l’affirmation C.2, α est annulaire, ce qui contredit la condition b_{1}).

On a maintenant une suite de multi-courbes (λ_{n}) satisfaisant les hypothèses ii), iii), iv) et vérifiant :

– 1. toute feuille de λ_{n} a un poids inférieur à π;

– 2. i(λ_{n}, ∂a) > 0 pour tout anneau ou ruban de Möbius essentiel a de M ;

– 3. i(λ_{n}, ∂D) > 2π pour tout disque essentiel D. Comme la multi-courbe λ_{n} vérifie les conditions du théorème 2 de [BoO], elle est la lamination géodésique mesurée de plissage d’une métrique hyperbolique géométriquement finie σ_{n} sur l’intérieur de M. Toutes les condition du lemme de fermeture sont maintenant réunies. On en déduit que λ est la lamination géodésique mesurée de plissage d’un métrique hyperbolique géométriquement finie sur l’intérieur de M ce qui achève la preuve du théorème 1.

A Mesure de plissage et longueurs des géodésiques

Lemme A.1 (Une courbe légèrement plissée est quasi- géodésique). Soient M une variété hyperbolique de dimension 3 dont le bord est une surface plissée convexe, λ la lamination géodésique mesurée de plissage de ∂M, γ une géodésique périodique du bord ∂M et γ^{∗} la géodésique de M dans la classe d’homotopie de γ. Soit ε < \frac{π}{2} ; il existe des constantes C_{ε}, A_{ε} telles que si i(γ, λ) ≤ ε alors l_{M}(γ) ≤ C_{ε}(l_{M}(γ^{∗}) + A_{ε}). De plus, on a lim_{ε⟶0} C_{ε} = 1 et lim_{ε⟶0} A_{ε} = 0.

Démonstration. Pour prouver ce lemme (voir aussi [Se]), nous allons construire, en deux étapes, un anneau simplicial de bord γ ∪ γ^{∗} et déduire, à chaque étape, de la formule de Gauss-Bonnet, des comparaisons de longueurs. La première étape est le lemme suivant :

Lemme A.2. Soient c̃_{1} un segment géodésique de ∂M̃ joignant deux points x̃_{1} et x̃_{2} et c̃_{2} le segment géodésique de M̃ qui les joint également. S’il existe ε < \frac{π}{2} tel que i(c̃_{1}, p^{−1}(λ)) ≤ ε alors ∃C_{ε} tel que l_{M}(c̃_{1}) ≤ C_{ε}l_{M}(c̃_{2}) (avec C_{ε} ≤ (1 + tan ε)^{3}).

Démonstration. Remplaçons c̃_{1} par une approximation polyhédrale pour laquelle l’angle total de plissage est inférieur à (1+x)ε < \frac{π}{2} (l’existence d’une telle approximation est prouvée dans [EpM]). Comme c̃_{1} est la limite de telles approximations, ceci nous permettra de conclure. Désormais c̃_{1} désignera l’approximation sus-citée. Le cône géodésique de x̃_{1} à c̃_{1} (i.e. l’adhérence de l’union des segments géodésiques joignant x̃_{1} aux points de c̃_{1}) est un disque plissé Δ formé d’un nombre fini de triangles totalement géodésiques et bordé par c̃_{1} ∪ c̃_{2}. Notons ε_{1} la somme des angles internes de ces triangles en x̃_{1} et ε_{2} l’angle interne du triangle en x̃_{2}. Comme c̃_{1} est une géodésique pour la métrique de ∂M̃, en chaque sommet de c̃_{1} la somme des angles internes des triangles est supérieure ou égale à l’angle interne de plissage de ∂M̃. En appliquant la formule de Gauss-Bonnet à chacun de ces triangles, on en déduit que l’aire de leur réunion est plus petite que (1 + x)ε − ε_{1} − ε_{2}. On a alors ε_{1} ≤ (1 + x)ε ≤ 2π, donc le disque Δ peut être plongé isométriquement dans ℍ^{2}. On notera désormais Δ l’image de ce plongement munie de la métrique ambiante. La courbe ∂Δ est une courbe géodésique par morceaux pour cette métrique et en chaque coin de Δ − c̃_{2} l’angle externe (qui est compté négativement si l’angle interne est supérieur à π) est inférieur à l’angle de plissage correspondant.

Soit b = max_{x̃∈∂Δ−c̃_{2}} d_{Δ}(x̃, c̃_{2}) ; l’affirmation suivante fournit une majoration de b.

Affirmation A.3. On a chb ≤ 1 + tan((1 + x)ε).

Démonstration. Par convexité de la fonction distance entre deux géodésiques, b est atteint en un sommet de ∂Δ − c̃_{2}. Lorsque Δ n’est pas convexe, nous allons le remplacer par un convexe dont le bord contient ce sommet.

Soient ỹ un sommet de Δ en lequel l’angle externe est négatif, ỹ^{+} et ỹ^{−} les deux sommets voisins de ỹ; ajoutons à Δ le triangle de sommets ỹ, ỹ^{+} et ỹ^{−}. Le disque Δ′ ainsi obtenu contient Δ, est bordé par un polygone qui possède un sommet de moins que ∂Δ et si l’angle externe de Δ en ỹ^{+} (respectivement ỹ^{−}) était positif alors l’angle externe de Δ′ en ỹ^{+} (respectivement ỹ^{−}) est plus petit que celui de Δ. Si ce nouveau disque a un coin en lequel l’angle externe est négatif alors on réitère cette opération.

Comme à chaque étape on enlève un coin, après un nombre fini d’itérations, on obtient un disque, que nous noterons Δ′, tel qu’en chaque coin de Δ′ l’angle externe est positif. Un tel disque est convexe. Chaque coin de Δ′ est un coin de Δ et, comme on l’a vu, l’angle externe de Δ′ en un coin est plus petit que l’angle externe de Δ en ce même coin. On en déduit que PSfrag replacements

y^{−} y y^{+} Δ

Fig. 5 – On ajoute des triangle à Δ pour obtenir un convexe Δ′.

la somme des angles externes de Δ′, sans compter les angles en x̃_{1} et x̃_{2} est plus petite que la mesure de plissage (1 + x)ε de c̃_{1}. Si on note ε′_{i} l’angle interne de Δ′ en x̃_{i}, on a alors aire(Δ′) ≤ (1 + x)ε − (ε′_{1} + ε′_{2}).

Comme les coins de Δ′ sont des coins de Δ et que la fonction distance entre deux géodésiques est convexe, on a b = max_{x̃∈∂Δ′−c̃_{2}} d_{Δ′}(x̃, c̃_{2}). Nous allons maintenant utiliser des formules de trigonométrie hyperbolique pour obtenir la majoration attendue.

Comme (ε′_{1} + ε′_{2}) ≤ (1 + x)ε < \frac{π}{2} , la projection orthogonale de tout point de ∂Δ′ PSfrag replacements

α
β
α′
β′
x̃_{1}
x̃_{2}
ε′_{1}
ε′_{2}
τ
τ′
b
∂Δ′
c̃_{2}

Fig. 6 – Le convexe Δ′.

sur la géodésique passant par x̃_{1} et par x̃_{2} appartient au segment [x̃_{1}, x̃_{2}]. Prenons les notations de la figure 6 et notons A l’aire du triangle τ. On a A = \frac{π}{2} − α − β donc cos β = cos(\frac{π}{2} − α − A) = sin(α + A). D’après ([Be]), chb sin α = cos β donc chb = \frac{cos β}{sin α} = \frac{sin(α+A)}{sin α} = cos A + cotanα sin A, d’où

chb ≤ 1 + cotanα.  (1)

Cette inégalité est encore vraie si l’on remplace α par α′.

Comme aire(Δ′) ≤ (1 + x)ε − (ε′_{1} + ε′_{2}), alors (1 + x)ε ≥ ε′_{1} + ε′_{2} ≥ β + β′. De plus π−(α+α′)−(β +β′) = aire(τ ∪τ′) ≤ aire(Δ′) ≤ (1+x)ε donc α+α′ ≥ π−(β +β′)− (1 + x)ε ≥ π − 2(1 + x)ε. On en déduit que max\{α, α′\} ≥ \frac{π}{2} − (1 + x)ε (qui est strictement positif par hypothèse). En remplaçant dans (1), on obtient chb ≤ 1+cotan(\frac{π}{2} −(1+x)ε) d’où

chb ≤ 1 + tan((1 + x)ε)  (2)

Rappelons que les coordonnées de Fermi sont les coordonnées normales à une géodésique d̃ (ici d̃ est la géodésique contenant c̃_{2}). Dans ces coordonnées, un point est repéré par sa distance ρ à d̃ et par la distance t entre sa projection sur d̃ et un point base fixé sur d̃. La métrique hyperbolique s’écrit dans ces coordonnées :

ds^{2} = dρ^{2} + (ch ρ)^{2}dt^{2}.

Revenons à notre disque initial Δ et montrons l’affirmation suivante :

Affirmation A.4. La projection orthogonale de c̃_{1} sur d̃ est injective.

Démonstration. Comme ε_{1} ≤ (1+x)ε < \frac{π}{2} , il existe un petit voisinage de x̃_{1} dans c̃_{1} sur lequel la projection orthogonale q : c̃_{1} → d̃est injective. Supposons que la projection orthogonale de c̃_{1} sur d̃ n’est pas injective ; il existe alors un point ỹ ⊂ c̃_{1} tel que la projection orthogonale sur d̃ est injective sur le segment [x̃_{1}, ỹ] mais n’est injective sur aucun voisinage de ỹ dans c̃_{1}. Soit k̃ ⊂ c̃_{1} un arc géodésique ; alors ou bien q est injective sur k̃, ou bien l’image de k̃ est un point. On en déduit que ỹ est un sommet de Δ. Notons k̃_{1}, k̃_{2} les deux côtés de ∂Δ dont le bord contient ỹ et (ỹ, q(ỹ)) la géodésique orthogonale à d̃ passant par ỹ. Comme la projection n’est injective sur aucun voisinage de ỹ dans c̃_{1}, les deux arcs k̃_{1} et k̃_{2} sont contenus dans la même composante de ℍ^{2} − (ỹ, q(ỹ)). Notons T̃_{i} le triangle dont un sommet est x̃_{1} et dont un côté est k̃_{i}; par construction de Δ, les intérieurs de ces deux triangles T̃_{1} et T̃_{2} sont disjoints. On en déduit que k̃_{2} est contenu dans le disque D bordé par la réunion des arcs [x̃_{1}, q(ỹ)] ⊂ c̃_{1}, [x̃_{1}, q(ỹ)] ⊂ d̃ et de l’arc géodésique joignant ỹ et q(ỹ)(cf. figure 7). Il s’en

PSfrag replacements

x̃_{1} c̃_{1} ỹ d̃ q(ỹ)

Fig. 7 – Si la projection orthogonale n’était pas injective

suit que l’angle externe de D en ỹ est plus petit que l’angle externe de Δ en ỹ. La somme des angles externes de ∂D, sans compter les angles en x̃_{1} et en q(ỹ), est donc inférieure à (1 + x)ε. De la formule de Gauss Bonnet, on déduit alors que l’aire de D est plus petite que (1 + x)ε − ε_{1} − \frac{π}{2} . Ceci contredit l’hypothèse de départ (1 + x)ε < \frac{π}{2} et conclut la preuve de l’affirmation.

La projection orthogonale de c̃_{1} sur d̃ étant continue, son image est un arc connexe. D’après l’affirmation A.4, les extrémités de cet arc sont x̃_{1} et x̃_{2}. L’image de c̃_{1} par la projection orthogonale sur d̃ est donc exactement c̃_{2}.

En intégrant les coordonnées de Fermi sur c̃_{1}, on obtient alors

l_{M}(c̃_{1}) = ∫_{0}^{d_{M} (x̃_{1},x̃_{2})} \sqrt{(ρ′(t))^{2} + ch^{2}(ρ(t))} dt.

Pour en déduire une majoration de l_{M}(c̃_{1}), il nous faut majorer ρ′(t).

Affirmation A.5. Notons x̃(t) le point de c̃_{1} dont la projection sur d̃est le point de paramètre t (on choisit x̃(0) = x̃_{1} donc t est la distance entre x̃_{1} et la projection de x̃(t) sur d̃) ; alors si ρ est différentiable en t, on a

|ρ′| ≤ (\sqrt{tan^{2}((1 + x)ε) + 1 − ch^{−2}ρ}) ch^{2}ρ.

Démonstration. Soit t tel que ρ est différentiable en t; supposons tout d’abord que ρ′(t) ≥ 0. Notons d̃ la géodésique tangente en x̃(t) à c̃_{1}. Nous allons distinguer deux cas suivant que d̃ intersecte c̃_{2} ou non.

- Si d̃ n’intersecte pas le segment c̃_{2}, notons d̃′ la demi-géodésique d’extrémité x̃(0) = x̃_{1} qui contient x̃(t) et notons δ l’angle entre c̃ et d̃′ (cf. figure 8). Si on considère que le point PSfrag replacements

x̃(t)

ρ(t)
t
δ
x̃(0)
d̃′
d̃
c̃_{2}

Fig. 8 – Majoration de ρ′ premier cas.

x̃(t) parcourt d̃′ plutôt que c̃_{1}, on obtient une quantité ρ′(t) plus grande que celle cherchée. C’est ce ρ′ que nous allons majorer. D’après [Be], on a thρ = sht tan δ, d’où

ρ′(1 − th^{2}ρ) =  cht tan δ  = (\sqrt{1 + sh^{2}t}) tan δ
= tan δ\sqrt{1 + \frac{th^{2}ρ}{tan^{2} δ}} = \sqrt{tan^{2} δ + th^{2}ρ}.

On obtient ainsi ρ′ = ^{\frac{\sqrt{tan^{2} δ+th^{2}ρ}}{1−th^{2}ρ}} = (\sqrt{tan^{2} δ + th^{2}ρ}) ch^{2}ρ et il ne nous reste plus qu’à majorer δ.

Si un voisinage de x̃(0) dans d̃′ est contenu dans Δ alors δ ≤ ε_{1} ≤ (1 + x)ε (cf. figure 8). Sinon, il existe un point ỹ ∈ d̃′ ∩ c̃_{1} tel que l’arc géodésique ]x̃(0), ỹ[⊂ d̃′ n’intersecte pas c̃_{1}. Notons D le disque plongé bordé par les arcs [x̃(0), ỹ] ⊂ d̃′, [ỹ, x̃_{2}] ⊂ c̃_{1} et c̃_{2} (cf. figure 9) ; l’angle externe de D en ỹ est plus petit que l’angle externe de Δ (en particulier il est négatif, i.e. l’angle interne est supérieur à π, si ỹ n’est pas un sommet de Δ), les autres coins sont des coins de Δ et l’angle externe de D en chacun de ces coins, excepté x̃(0), est celui de Δ. On en déduit que l’aire de D est plus petite que (1 + x)ε − δ − ε_{2}, donc δ ≤ (1 + x)ε.

On a alors

|ρ′| ≤ (\sqrt{tan^{2}((1 + x)ε) + 1 − ch^{−2}ρ}) ch^{2}ρ.

PSfrag replacements

x̃(0)

ỹ
d̃′
c̃_{1}
c̃_{2}

Fig. 9 – Majoration de δ.

- Si d̃ intersecte c̃_{2}, notons δ l’angle antre c̃_{2} et d̃ (cf. figure 10). Les calculs précédents nous donnent ρ′ = (\sqrt{tan^{2} δ + th^{2}ρ}) ch^{2}ρ.

Notons I_{t} l’intervalle [t, d_{M}(x̃_{1}, x̃_{2})] ⊂ ℝ et considérons le disque Δd̃ bordé par la réunion de {c̃_{1}(s), s ∈ I_{t}}, de {x̃(s), s ∈ I_{t}} et du segment de d̃ joignant c̃_{2} à x̃(t) (cf. figure 10). Les

PSfrag replacements x̃_{1}

d̃
δ
x̃_{2}
c̃_{2}
Δd̃
x̃(t)
ε_{2}

Fig. 10 – Majoration de ρ′, deuxième cas.

coins de ∂Δd̃− c̃_{2}, excepté d̃∩ c̃_{2}, sont des coins de c̃_{1}. La somme des angles externes de Δd̃, sans compter ceux en d̃∩ c̃_{2} et en x̃_{2}, est donc plus petite que (1 + x)ε. On en déduit que :

aire(Δd̃) ≤ (1 + x)ε − δ − ε_{2}.

Il s’ensuit que δ ≤ (1 + x)ε et on a nouveau

|ρ′| ≤ (\sqrt{tan^{2}((1 + x)ε) + 1 − ch^{−2}ρ}) ch^{2}ρ.

Ce raisonnement est valable tant que ρ(t) est croissante. Sur la partie où ρ(t) est décroissante, on remplace t par d_{M}(x̃_{1}, x̃_{2})−t et le même raisonnement fournit la même inégalité.

De cette affirmation, on déduit que

l_{M}(c̃_{1}) ≤ ∫_{0}^{d_{M} (x̃_{1},x̃_{2})} \sqrt{(1 + tan^{2}((1 + x)ε) − ch^{−2}ρ(t)) ch^{4}(ρ(t)) + ch^{2}(ρ(t))} dt
≤ ch^{2}b\sqrt{1 + tan^{2}((1 + x)ε)} d_{M}(x̃_{1}, x̃_{2})

En combinant avec (2), on a alors

l_{M}(c̃_{1}) ≤ (1 + tan((1 + x)ε))^{2}(1 + tan((1 + x)ε))d_{M}(x̃_{1}, x̃_{2})

Et en faisant tendre x vers 0 on en déduit

l_{M}(c̃_{1}) ≤ (1 + tan ε)^{3}l_{M}(c̃_{2})  (3)

Fin de la preuve du lemme A.1 : Reprenons les notations de l’énoncé du lemme A.1 et notons g ∈ π_{1}(M) l’image de c ∈ π_{1}(∂M) par l’application induite par l’inclusion ∂M → M. Soient c̃^{∗} ∈ ℍ^{3} l’axe de g, x un point de c − λ et x̃_{1} ∈ c̃ et x̃_{2} ∈ c̃ deux relevés consécutifs (i.e. tels que x̃_{2} = gx̃_{1}) de x. Notons c̃_{1} le segment de c̃ ⊂ ∂M̃ joignant x̃_{1} à x̃_{2} et c̃_{2} le segment géodésique de M̃ qui les joint aussi (on est dans la configuration de la figure 6). Notons enfin ỹ_{1} et ỹ_{2} les projections orthogonales de x̃_{1} et x̃_{2} sur c̃^{∗}; on est alors dans la situation de la figure 11. Comme c̃ est PSfrag replacements

ε_{2}

α_{2}
α_{1}
ε_{1}
x̃_{1}
ỹ_{2}
ỹ_{1}
x̃_{2}

c̃

Fig. 11 – Configuration de R dans ℍ^{3}.

géodésique en x̃_{1} et x̃_{2}, α_{1} + α_{2} + ε_{1} + ε_{2} ≥ π. Supposons que α_{2} ≥ α_{1} et notons R la surface réunion des triangles géodésiques ỹ_{1}x̃_{1}x̃_{2} et x̃_{2}ỹ_{1}ỹ_{2}. La métrique sur R définie par la longueur des chemins est hyperbolique et ∂R est un quadrilatère dont les angles en x̃_{1} et ỹ_{2} sont α_{1} et \frac{π}{2} , l’angle β en ỹ_{1} est supérieur à \frac{π}{2} et l’angle α en x̃_{2} vérifie α ≥ α_{2}. On peut plonger R dans ℍ^{2} ; dans la suite, nous identifierons R et son image par ce plongement et c’est sur cette image que nous allons travailler. Prolongeons le segment [ỹ_{1}, ỹ_{2}] en une géodésique infinie ẽ et notons l la distance de ỹ_{1} à la projection orthogonale de x̃_{1} sur ẽ (voir figure 12).

Notons D la distance de x̃_{1} à ỹ_{1} (qui est aussi celle de x̃_{2} à ỹ_{2}). Comme 2α ≥ α_{1} + α_{2} ≥ π − (ε_{1} + ε_{2}) ≥ π − (1 + x)ε, alors α ≥ \frac{π}{2} − \frac{(1+x)}{2}ε > 0. Ceci entraine l’existence de B_{ε} ∈ ℝ tel que lim_{ε⟶0} B_{ε} = 0 et que si D ≥ B_{ε}, alors c̃_{2} n’intersecte pas ẽ.

Si D ≤ B_{ε}, on a l_{M}(c̃_{2}) ≤ l_{M}(c^{∗}) + 2B_{ε}. En combinant avec (3), on obtient l_{M}(c) ≤ (1 + tan ε)^{3}(l_{M}(c^{∗}) + 2B_{ε}) et le lemme est prouvé.

Dans le cas où D ≥ B_{ε}, nous allons comparer la longueur de c̃_{2} avec la longueur l_{M}(c^{∗}) = d(ỹ_{1}, ỹ_{2}) d’un domaine fondamental pour g sur c̃^{∗}.

Affirmation A.6. Dans le cas où D ≥ B_{ε}, on a

l_{M}(c̃_{2}) ≤ d(ỹ_{1}, ỹ_{2}) + l + 2 argch(\frac{1}{cos(\frac{1+x}{2}ε)}).

PSfrag replacements x̃_{1} l′_{1} l′_{2} x̃_{2} D ỹ_{2} ỹ_{1} l_{2} l_{1} l β α_{1} δ α ẽ c̃_{2} d β

1^{er} cas 2^{eme} cas

Fig. 12 – Après qu’on ait déplié le quadrilatère R.

Démonstration. Comme d(x̃_{1}, ẽ) ≤ d(x̃_{2}, ỹ_{2}), α < \frac{π}{2} . On est donc dans l’une des situations de la figure 12, différenciées selon que le segment géodésique qui réalise la distance de ẽ à la géodésique contenant c̃_{2} est contenu ou non dans R.

Dans chacun des deux cas de la figure 12, on a chl_{2} = chl′_{2} sin α ≥ chl′_{2} sin(\frac{π}{2} − \frac{1+x}{2}ε) = chl′_{2} cos(\frac{1+x}{2}ε), d’où chl′_{2} ≤ _{\frac{chl_{2}}{cos( \frac{1+x}{2} ε)}} ≤ ch(l_{2} + argch(_{\frac{1}{cos( \frac{1+x}{2} ε)}})). On obtient ainsi

l′_{2} ≤ l_{2} + argch(\frac{1}{cos(\frac{1+x}{2}ε)}).

Dans le premier cas de la figure 12, comme la distance de x̃_{1} à ẽ est inférieure à d(x̃_{1}, ỹ_{1}) = d(x̃_{2}, ỹ_{2}), l’angle δ + α_{1} est plus grand que α. Les calculs ci-dessus fournissent donc

l′_{1} ≤ l_{1} + argch(\frac{1}{cos(\frac{1+x}{2}ε)}).

En additionnant ces deux inégalités, on obtient

l_{M}(c̃_{2}) ≤ d(ỹ_{1}, ỹ_{2}) + l + 2 argch(\frac{1}{cos(\frac{1+x}{2}ε)}).

Dans le deuxième cas, comme l_{1} ≤ l′_{1}, on a :

l_{M}(c̃_{2}) ≤ l′_{2} − l′_{1} ≤ l_{2} + argch(\frac{1}{cos(\frac{1+x}{2}ε)}) − l_{1} ≤ d(ỹ_{1}, ỹ_{2}) + l + argch(\frac{1}{cos(\frac{1+x}{2}ε)}).

Il ne nous reste plus qu’à majorer l. Notons R′ le quadrilatère dont les sommets sont x̃_{1}, x̃_{2}, ỹ_{2} et le pied de la perpendiculaire à ẽ passant par x̃_{1}. En calculant l’aire de R′ en intégrant les coordonnées de Fermi et en comparant avec la formule de Gauss-Bonnet, on obtient :

(l_{M}(c^{∗}) + l)shd ≤ ∫∫_{R′}chρ dρ dt = π − δ − α_{1} − α ≤ (1 + x)ε.  (4)

D’après [Be], on a

chd = chD sin α ≥ chD cos \frac{1 + x}{2}ε

donc chD ≤ (cos \frac{1+x}{2}ε)^{−1}chd. Comme π − (α_{1} + α + δ) ≥ 0, δ ≤ π − (α + α_{1}) ≤ (1 + x)ε. On en déduit que shl = shD sin δ ≤ shD sin(1 + x)ε donc

sh^{2}l ≤ (ch^{2}D − 1) sin^{2}((1 + x)ε) ≤ (\frac{ch^{2}d}{cos^{2}( \frac{1+x}{2} ε)} − 1) sin^{2}((1 + x)ε)
≤ 4(sh^{2}d + sin^{2} \frac{1+x}{2}ε) sin^{2} \frac{1+x}{2}ε.

Comme (sh^{2}d + sin^{2} \frac{1+x}{2}ε) ≤ 2 max\{sh^{2}d, sin^{2} \frac{1+x}{2}ε\}, on a, - ou bien sh^{2}l ≤ 8 sin^{4} \frac{1+x}{2} et l ≤ shl ≤ 4 sin^{2} \frac{1+x}{2}ε ≤ (1 + x)^{2}ε^{2} ;

- ou bien sh^{2}l ≤ 8sh^{2}d et l^{2} ≤ l shl ≤ 4l shd sin(\frac{1+x}{2}ε). En utilisant (4), on en déduit l^{2} ≤ 4(\frac{(1+x)lε}{l_{M} (c^{∗})+l}) sin(\frac{1+x}{2}ε) ≤ 2(1 + x)^{2}ε^{2}. Finalement, on a

l ≤ Max\{(1 + x)^{2}ε^{2}, \sqrt{2}(1 + x)ε\} ≤ (1 + x)^{2}(\sqrt{2}ε + ε^{2}).

En faisant tendre x vers 0 et en combinant avec (3), on obtient finalement

l_{M}(c) = l_{M}(c̃_{1}) ≤ (1 + tan ε)^{3}(l_{M}(c^{∗}) + 2 argch(\frac{1}{cos(\frac{ε}{2})} + \sqrt{2}ε + ε^{2})).

B Laminations géodésiques mesurées sur le bord des variétés de dimension 3

Nous avons vu que les limites de méridiens avaient un rôle important lorsqu’il s’agissait de contrôler la géométrie d’une variété à bord compressible (ceci étant un euphémisme au vu notamment des résultats de [Ot1] ou de [KlS]) et qu’un critère de Casson permettait de les caractériser. Nous allons donner ici la version plus faible de ce critère qui a été utilisée dans ce texte et dont on peut trouver une preuve pour le cas des bretzels dans [Ot1].

Théorème B.1. Une lamination géodésique de M_{géom} contient une feuille homoclinique.

Démonstration. Nous allons reprendre et compléter la démonstration de [Ot1].

Soit (m_{n}) une suite de disques essentiels dont les bords ∂m_{n} convergent géométriquement vers une lamination géodésique μ ∈ M_{géom}. Soit m̃_{n} un relevé de m_{n} à M̃ ; nous distinguerons deux cas suivant que la suite des diamètres des ∂m̃_{n} est bornée ou non.

Supposons que le diamètre des ∂m̃_{n} est majoré. Comme ρ(π_{1}(M)) agit proprement sur ∂M̃ avec un domaine fondamental compact, après application d’éléments de ρ(π_{1}(M)), les ∂m̃_{n} sont contenus dans un même compact de ∂M̃. Quitte à extraire, (∂m_{n}) converge vers un relevé μ̃ de μ contenu dans ce compact. Comme une lamination géodésique contenue dans un compact de ∂M̃ contient une feuille homoclinique, ceci prouve l’affirmation dans le cas où le diamètre des ∂m̃_{n} est majoré.

Supposons maintenant que le diamètre de ∂m̃_{n} n’est pas majoré ; quitte à passer à une sous-suite, on peut supposer que diam(∂m̃_{n}) ⟶ ∞. Considérons une famille (D^{i}) de disques essentiels deux à deux non homotopes et de cardinalité maximale ; ils découpent M en une réunion de pantalons P^{l} pleins et de variétés à bord incompressible. Le complémentaire dans ∂M de leurs bords (∂D^{i}) est une réunion de pantalons et de surfaces Σ^{l} avec une seule composante de bord (d’après la maximalité de (D^{i})). Notons d_{1} = max_{i}{max{dM̃(x, y)/x, y ∈ p^{−1}(D)^{i}}} le maximum des diamètres des composantes p^{−1}(D)^{i} de p^{−1}(⋃_{i} D^{i}) et d_{2} le maximum des diamètres des pantalons pleins P^{l} de M −⋃_{i} D^{i}. Soit V un voisinage régulier de ⋃_{i} D^{i}; les adhérences des composantes connexes de m_{n} − V qui ne sont pas contenues dans des pantalons pleins P^{l} sont des disques dont les bords sont contenus dans ⋃_{l} Σ^{l} ∪ V.

Soient Δ̃ un relevé d’un tel disque et C̃ la composante connexe de M̃ −p^{−1}(V) qui contient Δ̃ ; ∂C = p(∂C̃) est une surface incompressible donc ∂Δ borde un disque Δ′ ⊂ ∂C. Comme M est irréductible, Δ ∪ Δ′ borde une boule B ⊂ C. Soient B̃ le relevé de B qui contient Δ̃ et Δ̃′ le relevé de Δ′ contenu dans B̃; on a ∂B̃ = Δ̃ ∪ Δ̃′. Soit F̃ une composante connexe de Δ̃′ ∩ ∂M̃ ; notons Σ^{l} la composante de ∂M − V qui intersecte p(F̃). Montrons que F̃ est simplement connexe. Si ce n’est pas le cas, ∂F̃ contient une courbe c̃ ⊂ ∂Σ̃^{l}; comme Σ^{l} n’a qu’une composante de bord, ∂Σ^{l} = p(c̃). Comme D_{n} n’est pas contenu dans une composante de M − V, c intersecte Δ et c̃ intersecte un translaté de Δ̃. La boule B étant plongée, B̃ est disjointe de ses translatés et c̃ ⊂ ∂B̃ n’intersecte pas de translaté de Δ̃ ⊂ ∂B̃. On en déduit que F̃ est simplement connexe, c’est donc un disque et F̃ est homotope à Δ̃ sur ∂B̃. Comme F̃ ⊂ Δ̃′, la restriction de p à F̃ est un homéomorphisme. Le disque F = p(F̃) est contenu dans la surface Σ^{l} donc son aire est inférieure à une constante A qui ne dépend que des types topologiques des Σ^{k} et l’aire de F̃ est aussi majorée par A. Il existe donc une constante d_{3} qui ne dépend que de A et de d_{1} et une collection d’arcs k̃_{n}^{′j} de F̃′ dont les bords sont contenus dans (∂F̃ − V) ⊂ ∂m̃_{n}, qui séparent F̃ en des composantes de diamètre inférieur à d_{3} et vérifient lM̃(k̃_{n}^{′j}) ≤ l_{∂M̃}(k̃_{n}^{′j}) ≤ 3d_{1} (voir figure 13). On projette ensuite ces arcs sur des arcs k̃_{n}^{j} ⊂ Δ qui ont les mêmes extrémités que les k̃_{n}^{′j}.

PSfrag replacements

m̃^{i}
∂F̃
k̃_{n}^{j}

Fig. 13 – Un relevé de F.

On réalise cette construction pour chacune des composantes de m̃_{n} − V et on ajoute aux k̃_{n}^{j} les composantes de p^{−1}(⋃_{i} D^{i}) ∩ m̃_{n} pour construire une nouvelle famille k̃_{n}^{j} d’arcs dont les bords sont contenus dans ∂m̃_{n} et qui séparent m̃_{n} en des composantes connexes C telles que diam(∂C − ⋃_{j} k̃_{n}^{j}) ≤ d = max{d_{2}, d_{3}}.

Soient N un entier et n assez grand pour que diam(∂m̃_{i}) ≥ 2N +2d. Soient x̃_{n} et ỹ_{n} deux points de ∂m̃_{n} qui réalisent son diamètre. D’après la propriété de séparation des k̃_{n}^{j}, il existe un arc k̃_{n}^{1} dont les bords séparent ∂m̃_{n} en deux arcs c̃x̃_{n} et c̃ỹ_{n} contenant respectivement x̃_{n} et ỹ_{n} et dont l’un, c̃x̃_{n} par exemple, vérifie les propriétés suivantes (illustrées par la figure 14) :

- la distance dans M̃ entre les extrémités de c̃x̃_{n} est inférieure à 3d_{1} ;

- N ≤ dM̃(x̃_{n}, ∂c̃x̃_{n}) ≤ N + d. Si diam(c̃x̃_{n}) ≥ 2N +2d, on réitère la même opération pour obtenir un nouvel arc c̃_{}_{x̃′_{n}} ⊂ c̃x̃_{n}.

PSfrag replacements vers ỹ_{n}

vers ỹ_{n}
x̃_{n}

Fig. 14 – Un exemple d’arc c̃x̃_{n} dans le cas d’un bretzel.

Comme ♯{c̃_{}_{x̃′_{n}} ∩ ⋃_{j} k̃_{n}^{j}} < ♯{c̃x̃_{n} ∩ ⋃_{j} k̃_{n}^{j}}, après un nombre fini d’itérations, on obtient un arc c̃x̃_{n} tel que diam(c̃x̃_{n}) ≤ 2N +2d. Après application d’un élément de π_{1}(M), on peut supposer que les arcs c̃x̃_{n} sont contenus dans un même compact de ∂M̃. Comme précédemment, si la suite des longueurs des c̃x̃_{n} n’est pas bornée par une constante c(N), μ contient une feuille homoclinique. Dans le cas contraire, la suite des longueurs des c̃x̃_{n} est bornée par une constante c(N). Quitte à extraire une sous-suite, les arcs c̃x̃_{n} convergent donc vers un arc dont les extrémités sont à une distance inférieure à 3d_{1} et dont la longueur est minorée par N et majorée par c(N), cet arc est contenu dans une feuille l̃ de p^{−1}(μ). Par densité de la réunion des feuilles isolées d’un côté, on peut supposer la projection l de l̃ de ce type. En faisant varier n on obtient une suite d’arcs dont la longueur tend vers l’infini. Comme les feuilles isolées d’un côté sont en nombre fini, quitte à extraire, on peut supposer les projections de ces arcs contenues dans un même feuille l. Une telle feuille l est homoclinique.

B.1 Systèmes admissibles de méridiens

Soit S ⊂ ∂M une surface compacte compressible dont le bord ne contient pas de méridiens ; dans la section 2, nous avons défini un système admissible de méridiens de S, nous allons maintenant construire un tel système.

Soient μ_{1} une réunion non séparante de méridiens de cardinalité maximale, M_{1} la variété obtenue en découpant M le long d’une famille de disques bordée par μ_{1} et S_{1} ⊂ ∂M_{1} la surface obtenue en découpant S le long de μ_{1} et en recollant à la surface ainsi obtenue les disques bordés par les nouvelles composantes de bord ainsi formées. Si M_{1} est une boule, alors, comme ∂S ne contient pas de méridien, S_{1} = ∂M_{1} et μ est un système admissible. Sinon, si S − μ contient un méridien c_{1} qui ne borde pas de disque de S_{1} (i.e. si S_{1} est compressible), notons μ_{2} la multi-courbe obtenue en ajoutant un tel méridien à μ_{1}. Soit M_{2} la variété en découpant M_{1} le long de c_{1} et S_{2} ⊂ ∂M_{2} la surface obtenue en découpant S_{1} le long de c_{1} et en recollant à la surface ainsi obtenue les disques de ∂M_{2} que bordent les nouvelles composantes de bord ainsi formées. Si S_{2} n’est pas incompressible, on réitère cette opération. Comme le nombre de composantes d’une famille de géodésiques de S, simples, fermées et disjointes est bornée, après un nombre fini d’étapes, on obtient un système admissible de méridiens.

La première propriété des systèmes admissible que nous allons décrire est en fait une propriété générale des familles de méridiens. Soient μ ⊂ S est une famille de méridiens, μ^{1} ⊂ μ un élément de cette famille et k un arc de compression vers μ^{1} ; notons (m^{i}) une famille de disques disjoints bordés par les composantes μ^{i} de μ. Comme k est un arc de compression vers μ^{1}, il existe un arc k^{1} ⊂ m^{1} tel que k ∪k^{1} borde un disque essentiel D ⊂ M. Les composantes de D − ⋃_{i} m^{i} sont des disques dont l’un au moins, appelons-le D′, est tel que ∂D′ ∩ k est connexe. On en déduit que k contient un arc de compression ∂D′ ∩ k vers μ. On a ainsi montré le fait suivant :

Fait B.2. Soit λ ⊂ ∂M une lamination géodésique et μ une famille de méridiens par rapport à laquelle λ est en position prétendue ; alors pour chaque composante μ^{i} de μ, λ ne contient pas d’arcs de compression vers μ^{i}.

Dans le cas d’un système admissible de méridiens, comme la surface S′, définie plus haut, est incompressible, on peut étendre ce fait de la manière suivante :

Fait B.3. Soient S une surface compressible dont le bord ne contient pas de méridiens, μ un système de méridiens admissible pour (M, S) et λ ⊂ S une lamination géodésique ; si λ est en position prétendue par rapport à une multi-courbe contenant μ, alors elle ne contient d’arc de compression vers aucune composante de μ.

Démonstration. Supposons que λ contient un arc k de compression vers μ. Soit μ^{1} la composante de μ telle que ∂k ⊂ μ^{1} ; il existe un arc k′ ⊂ μ^{1} tel que k ∩ k′ = ∂k = ∂k′ et que k ∪ k′ ⊂ S′ borde un disque de M′. Comme S′ est incompressible, k ∪ k′ borde un disque de S′ et pour toute multi-courbe ν de S′ qui intersecte k, k contient un arc de compression vers ν.

Une autre propriété fort utile des systèmes admissibles est qu’en opérant sur eux des chirurgies le long d’arcs de compression, on obtient des systèmes qui sont eux aussi admissibles. Plus précisément soient μ un système admissible pour une surface S ⊂ ∂M, μ^{1} une composante de μ et k un arc de compression vers μ^{1}. Par chirurgie de μ^{1} le long de k, on obtient deux méridiens μ_{1}^{1} et μ_{2}^{1} tels que l’un des deux, disons μ_{2}^{1}, a la propriété suivante : en remplaçant, dans μ, μ^{1} par μ_{2}^{1}, on a encore un système admissible (cf. [Wa2]).

C Démonstration des propriétés de P(M)

Dans cette dernière section, nous allons exposer les démonstrations des propriétés de P(M) qui ont été utilisée dans la preuve du théorème 1.

Lemme C.1. Soit λ une lamination vérifiant les conditions a) et c) ; alors les assertions suivantes sont équivalentes :

– b_{1}) La lamination géodésique λ est anannulaire ;

– b_{2}) ∃η > 0 tel que, pour tout anneau essentiel a, i(∂a, λ) ≥ η.

Démonstration. Comme on l’a déjà remarqué, une lamination qui vérifie b), b_{1}) ou b_{2}) intersecte transversalement toutes les courbes paraboliques. Dans la suite, nous pourrons donc supposer que λ intersecte toutes les courbes paraboliques.

i) Montrons tout d’abord par l’absurde que b_{2} => b_{1}. Soit λ une lamination géodésique mesurée qui vérifie les conditions a), c) et intersecte transversalement toutes les courbes paraboliques ; supposons que λ ne vérifie pas la condition b_{1}). Il existe alors une lamination annulaire α qui n’intersecte pas λ transversalement et qui va nous permettre, pour tout ε > 0, de construire un anneau ou un ruban de Möbius essentiel a_{ε} tel que i(λ, ∂a_{ε}) ≤ ε. Ceci contredira la condition b_{2}).

Soient l̃^{1}, l̃^{2} ⊂ p^{−1}(α) deux feuilles biasymptotes ; l̃_{+}^{1} et l̃_{+}^{2} deux demi-géodésiques de l̃^{1} et l̃^{2} qui ont le même bout ξ_{+} ; l^{1}, l^{2}, l_{+}^{1} et l_{+}^{2} les projetés de l̃^{1}, l̃^{2}, l̃_{+}^{1} et l̃_{+}^{2} sur ∂M. Construisons tout d’abord une multi-courbe μ qui est un méridien, une courbe parabolique ou le bord d’un anneau et par rapport à laquelle l̄_{+}^{1} et l̄_{+}^{2} sont en position prétendue. Soient α^{1} et α^{2} les laminations minimales contenues dans les adhérences l̄_{+}^{1} et l̄_{+}^{2} de l_{+}^{1} et l_{+}^{2}, avec éventuellement α^{1} = α^{2} ; raccourcissons l_{+}^{1} et l_{+}^{2} de façon à avoir l_{+}^{j} ⊂ S(α^{j}). Comme α^{1} ∪ α^{2} ⊂ α, ni α^{1}, ni α^{2} n’intersectent λ transversalement et i(∂′S̄(α^{1}), λ) = i(∂′S̄(α^{2}), λ) = 0.

Si S = S̄(α^{1}) ∪ S̄(α^{2}) contient un méridien ou une courbe parabolique, alors d’après le lemme 3.1, S contient un méridien ou une courbe parabolique μ_{+} vers lequel S ne contient pas d’arcs de compression disjoint de λ. L’hypothèse que λ vérifie la condition c) et intersecte toutes les courbes paraboliques implique que μ_{+} intersecte λ transversalement. Comme ni α^{1}, ni α^{2} n’intersecte λ, l’affirmation 2.8 entraînent que μ_{+} intersecte transversalement α^{1} ou α^{2}. D’après l’affirmation 3.4, il existe une famille de fermés F_{i} ⊂ ∂\overline{M̃} bordés par les adhérences de relevés de μ_{+} tels que ξ_{+} = ⋂_{i} F_{i}^{∘}. Comme ξ_{+} est le bout de l̃_{+}^{1} et de l̃_{+}^{2}, l_{+}^{1} et l_{+}^{2} intersectent μ_{+}, donc α^{1} ∪ α^{2} est en position prétendue par rapport à μ_{+} (chaque feuille intersecte transversalement μ_{+}).

Si S est incompressible et ne contient pas de courbes paraboliques, d’après la proposition 2, il existe un anneau ou ruban de Möbius essentiel a avec μ_{+} = ∂a ⊂ S. Si μ_{+} n’intersecte pas α^{1} ∪ α^{2} transversalement, alors a est l’anneau ou le ruban de Möbius recherché. Sinon, comme S est incompressible, α^{1} ∪ α^{2} ne contient pas d’arc de compression vers μ_{+} et par les mêmes arguments que lorsque μ_{+} est un méridien, α^{1} ∪ α^{2} est en position prétendue par rapport à μ_{+}.

Nous avons maintenant une multi-courbe μ qui est un méridien, une courbe parabolique ou borde un anneau ou un ruban de Möbius essentiel et par rapport à laquelle l_{+}^{1} ∪ l_{+}^{2} est en position prétendue.

Considérons ensuite deux demi-feuilles l̃_{−}^{1} et l̃_{−}^{2} de l̃^{1} et l̃^{2} telles que l̃_{+}^{1} ∩ l̃_{−}^{1} = ∅ et l̃_{+}^{2} ∩ l̃_{−}^{2} = ∅. En suivant un raisonnement analogue, on construit une multi-courbe μ_{−} qui est un méridien, une courbe parabolique ou borde un anneau ou un ruban de Möbius essentiel et par rapport à laquelle l_{−}^{1} ∪ l_{−}^{2} est en position prétendue.

Paramétrons l̃^{1} et l̃^{2} par ℝ avec l̃_{+}^{j} ⊂ l̃^{j}(ℝ^{+}) et l̃_{−}^{j} ⊂ l̃^{j}(ℝ^{−}). Considérons les suites ... < x_{−1} < 0 < x_{1} < ... et ... < y_{−1} < 0 < y_{0} < y_{1} < ... de tous les réels tels que, pour tout n > 0, l̃^{1}(x_{n}) et l̃^{2}(y_{n}) sont dans un même relevé de μ_{+} et que l̃^{1}(x_{−n}) et l̃^{2}(y_{−n}) sont dans un même relevé de μ_{−}. Comme l_{+}^{1} ∪ l_{+}^{2} est en position prétendue par rapport à μ_{+}, l̃_{+}^{1} (respectivement l̃_{+}^{2}) intersecte au plus une fois chaque relevé de μ_{+}. Cet argument est aussi valable pour l_{−}^{1} ∪ l_{−}^{2} et μ_{−}, il existe donc N_{0} tel que pour n ≥ N_{0}, x_{n}, x_{−n}, y_{n} et y_{−n} sont bien définis, ce qui sera suffisant pour la suite. Notons d(l(x_{n}), l(y_{n})) la distance de l(x_{n}) à l(y_{n}) mesurée sur μ^{+} (si μ^{+} borde un anneau essentiel et si l(x_{n}) et l(y_{n}) appartiennent à deux composantes différentes de μ^{+}, on conviendra que d(l(x_{n}), l(y_{n})) = ∞).

Supposons que, quitte à extraire, d(l(x_{n}), l(y_{n})) ⟶ 0 et d(l(x_{−m}), l(x_{−m})) ⟶ 0 (en particulier, l^{1} et l^{2} sont contenues dans la même composante connexe de ∂M). Pour simplifier les notations, on va considérer que m = n, mais le raisonnement qui suit est valable en toute généralité. Soient η > 0 et Ĩ_{n} et Ĩ_{−n} deux segments de longueur inférieure à η joignant l̃^{1}(x_{n}) à l̃^{2}(y_{n}) et l̃^{1}(x_{−n}) à l̃^{2}(y_{−n}). D’après la condition a), pour η suffisamment petit, on a i(Ĩ_{n}, λ̃) + i(Ĩ_{−n}, λ̃) ≤ 2π. La courbe c̃_{n} = Ĩ_{n} ∪ l̃^{1}[x_{−n}, x_{n}] ∪ Ĩ_{−n} ∪ l̃^{2}[y_{−n}, y_{n}] est homotope à un point dans M̃. Montrons par l’absurde que pour n assez grand c̃_{n} ne borde pas de disque dans ∂M̃. Supposons qu’il existe une suite extraite telle que c̃_{n} borde un disque D̃_{n} ⊂ ∂M̃. Fixons n_{0} ⊂ ℕ et notons μ̃_{n_{0}}^{+} la composante de p^{−1}(μ^{+}) qui contient l̃^{1}(x_{n_{0}}). Soient μ̆_{n_{0}}^{+} et l̆^{1} des relevés de μ̃_{n_{0}}^{+} et l̃^{1} au revêtement universel ℍ^{2} de la composante de ∂M qui contient l^{1} et l^{2} tels que μ̆_{n_{0}}^{+} et l̆^{1} s’intersectent en un point x̆_{n_{0}}. Pour n ≥ n_{0}, relevons D̃_{n} en un disque D̆_{n} qui contient x̆_{n_{0}}. Le bord de D̆_{n} est composé d’un segment de l̆^{1}, d’un segment contenu dans un relevé l̆_{n}^{2} de l̃^{2} et de deux segments Ĭ_{n} et Ĭ_{−n} relevés de Ĩ_{n} et Ĩ_{−n}. Comme l(Ĭ_{±n}) ⟶ 0 et que la fonction distance entre deux géodésiques paramétrées par leurs longueurs est convexe, μ̆_{n_{0}} intersecte l̆_{n}^{2} en un point Y̆_{n} tel que d(l̆^{1}(x_{n_{0}}), Y̆_{n}) ⟶ 0. Comme l_{+}^{2} est en position prétendue par rapport à μ^{+}, Y̆_{n} se projette sur l̃^{2}(y_{n_{0}}). On en déduit que d(l̃^{1}(x_{n_{0}}), l̃^{2}(y_{n_{0}})) = 0 ce qui contredit le fait que l̃^{1} et l̃^{2} sont disjointes. Pour n assez grands, c_{n} = p(c̃_{n}) représente donc un élement non nul de π_{1}(∂M) et d’après le théorème du lacet ([He]) il existe alors un méridien μ_{n} tel que i(λ, μ_{n}) ≤ 2π ce qui contredit c).

On en déduit qu’il existe η > 0 tel que d(l(x_{n}), l(y_{n})) > η pour tout n ∈ ℕ^{+} ou d(l(x_{−n}), l(x_{−n})) > η pour tout n ∈ ℕ^{+}. Considérons par exemple que d(l(x_{n}), l(y_{n})) > η pour tout n ∈ ℕ^{+}. Nous allons modifier légèrement des arguments de G. Kleineidam et J. Souto [KlS] pour construire, pour ε donné un anneau ou un ruban de Möbius essentiel a_{ε} tel que i(∂a_{ε}, λ) ≤ ε.

Comme l_{+}^{1} ∪ l_{+}^{2} est en position prétendue par rapport à μ_{+}, on a, pour tout i < j :

1. les vecteurs \frac{d}{dt}l_{+}^{2}(y_{i}) et \frac{d}{dt}l_{+}^{1}(x_{i}) sont dirigés du même côté de μ_{+} (à savoir le côté du

fermé F_{i} du fait 3.4) ;

2. les courbes l_{+}^{1}[x_{i}, x_{j}] et l_{+}^{2}[y_{i}, y_{j}] représentent le même élément du π_{1} relatif π_{1}(M, μ_{+}) (respectivement π_{1}(M, a) lorsque μ_{+} borde un anneau ou ruban de Möbius a).

Considérons tout d’abord le cas où α^{1} est une courbe simple. Soit l une feuille de α_{2} telle qu’un relevé l̃ de l à ∂M̃ a un bout ξ_{+} commun avec un relevé α̃_{2} de α_{2} et g un élément de ρ(π_{1}(M)) qui laisse α̃_{2} invariant et dont le point fixe répulsif est ξ^{+}. Les géodésiques g^{n}l̃ ⊂ p^{−1}(l) ont deux bouts, g^{n}ξ^{+} = ξ^{+} et ξ_{n} = g^{n}ξ^{−}, dans ∂\overline{M̃} et (ξ_{n}) converge vers le point fixe attractif de g. On en déduit que, quitte à extraire, g^{n}l̃converge vers une géodésique simple l̃′ ⊂ p^{−1}(α^{2}) invariante par g. La feuille l′ = p(l̃′) est donc fermée et α^{2} = l′.

Si α^{1} = α^{2}, alors, comme d(l_{+}^{1}(x_{i}), l_{+}^{2}(y_{i})) > η, α^{1} borde un ruban de Möbius essentiel a avec i(∂a, λ) = i(α^{1}, λ) = 0. Sinon, il existe un anneau a éventuellement singulier avec ∂a = α^{1} ∪ α^{2} et d’après [ShW], il existe un anneau essentiel a′ tel que i(∂a′, λ) = 0.

Si α^{1} n’est pas une courbe simple, d’après ce qui précède, α^{1} et α^{2} sont des minimaux exceptionnels. Ils contiennent donc au moins une feuille qui n’est isolée d’aucun côté. On a alors l’affirmation suivante :

Affirmation C.1. Pour tout ε′ > 0, il existe i < j tels que l’on ait l’un des deux cas suivants : Cas I :

- d(l_{+}^{1}(x_{i}), l_{+}^{2}(x_{φ(i+1)})) < ε′ et d(l_{+}^{2}(y_{i}), l_{+}^{1}(y_{j}) < ε′;

- les vecteurs \frac{d}{dt}l_{+}^{1}(x_{i}) et \frac{d}{dt}l_{+}^{1}(x_{j}) sont dirigés du même côté de μ_{+} ;

- ∀k ∈ {i + 1, ..., j − 1}, l_{+}^{1}(x_{k}) et l_{+}^{2}(y_{k}) n’appartiennent pas à [l_{+}^{2}(x_{i}), l_{+}^{2}(x_{j})] ∪ [l_{+}^{2}(y_{i}), l_{+}^{2}(y_{j})] ⊂ μ.

Cas II :

- d(l_{+}^{1}(x_{i}), l_{+}^{2}(y_{j})) < ε′ et d(l_{+}^{2}(y_{i}), l_{+}^{1}(x_{j}) < ε′;

- les vecteurs \frac{d}{dt}l_{+}^{1}(x_{i}) et \frac{d}{dt}l_{+}^{1}(y_{j}) sont dirigés du même côté de μ_{+} ;

- ∀k ∈ {i + 1, ..., j − 1}, l_{+}^{1}(x_{k}) et l_{+}^{2}(y_{k}) n’appartiennent pas à [l_{+}^{1}(x_{i}), l_{+}^{2}(y_{j})] ∪ [l_{+}^{2}(y_{i}), l_{+}^{1}(x_{j})] ⊂ μ. Notons que ce cas n’apparaît que si l^{1} et l^{2} sont dans la même composante de ∂M.

Démonstration. Pour trouver un tel couple i < j, on procède de la manière suivante. Comme α^{1} contient une feuille qui n’est isolée d’aucun côté, il existe un point x ⊂ α^{1} ∩ μ_{+} tel qu’une suite de points de l_{+}^{1} ∩ μ situés “à gauche” de x converge vers x et qu’une suite de points de l_{+}^{1} ∩ μ situés “à droite” de x converge aussi vers x. Considérons deux points a = l_{+}^{1}(x_{l}) ou l_{+}^{2}(y_{l}) et b = l_{+}^{1}(x_{s}) ou l_{+}^{2}(y_{s}) situés de part et d’autre de x et tels que d(a, b) < ε′ et que ∀k ∈ {l + 1, ..., s − 1}, l_{+}^{1}(x_{k}) et l_{+}^{2}(y_{k}) n’appartiennent pas à [a, b] ⊂ μ. Si les vecteurs \frac{d}{dt}(l^{1}∪l^{2})_{|a} et \frac{d}{dt}(l^{1}∪l^{2})_{|b} sont dirigés du même côté de μ_{+}, alors on prend i = l et j = s. Sinon il existe un point c = l_{+}^{1}(x_{t}) ou l_{+}^{2}(y_{t}) de [a, b] tel que ∀k ∈ {l + 1, ..., t − 1} − {s}, l_{+}^{1}(x_{k}) et l_{+}^{2}(y_{k}) n’appartiennent pas à [a, b]. On prend alors j = t et i = l si les vecteurs \frac{d}{dt}(l^{1} ∪ l^{2})_{|a} et \frac{d}{dt}(l^{1}∪l^{2})_{|c} sont dirigés du même côté de μ_{+} et i = s sinon. L’adhérence de l̃^{1}∪l̃^{2} dans ∂\overline{M̃} est une courbe de Jordan et deux translatés distincts de l̃^{1}∪l̃^{2} ne s’intersectent pas, montrons que deux translatés distincts de l’adhérence de l̃^{1}∪l̃^{2} ne s’intersectent pas. Supposons le contraire, soient g(l̃^{1}∪l̃^{2}) et h(l̃^{1}∪l̃^{2}) deux translatés de l̃^{1}∪l̃^{2} dont les adhérences s’intersectent ; comme g(l̃^{1} ∪ l̃^{2}) et h(l̃^{1} ∪ l̃^{2}) ne s’intersectent pas, alors g(l̃^{1}) et h(l̃^{1}) ont les deux mêmes bouts. On en déduit que (gh^{−1})^{2} fixe les deux bouts de g(l̃^{1}). Quitte à extraire la suite (gh^{−1})^{2n}g(l̃^{1}) converge vers une géodésique γ̃ ⊂ p^{−1}(α^{1}) dont la projection l ⊂ ∂M est une courbe fermée.

Ceci contredit l’hypothèse que α^{1} est un minimal exceptionnel donc deux translatés distincts de l’adhérence de l̃^{1} ∪ l̃^{2} ne s’intersectent pas. Ceci permet de montrer que, dans chacun des deux cas, la troisième propriété est vérifiée.

Comme l’illustre la figure 15, ce couple i, j va nous permettre de construire l’anneau ou le ruban de Möbius essentiel a_{ε} cherché.

Comme l^{1} ∪ l^{2} n’intersecte pas λ, alors ∃ζ(λ) tel que si, pour k = 1 ou 2, l_{+}^{k} contient un

PSfrag replacements x_{i} x_{j} y_{i} y_{j} x_{i} x_{j} y_{i} y_{j} Cas I Cas II

Fig. 15 – Un exemple pour chacun des deux cas possibles

point à distance inférieur à ζ(λ) d’une feuille fermée λ^{t} de λ, alors ou bien l^{k} = λ^{t}, ou bien l_{+}^{k} spirale sur λ^{t}.

Dans le cas I, comme α^{1} n’est pas une géodésique fermée, pour ε′ < ζ(λ), ni [l_{+}^{1}(x_{i}), l_{+}^{1}(x_{j})], ni [l_{+}^{2}(y_{i}), l_{+}^{2}(y_{j})] n’intersectent de feuille fermée de λ. On en déduit que pour ε′ suffisamment petit, i([l_{+}^{1}(x_{i}), l_{+}^{1}(x_{j})], λ) ≤ \frac{ε}{2} et i([l_{+}^{2}(y_{i}), l_{+}^{2}(y_{j})], λ) ≤ \frac{ε}{2}. D’après un résultat de [ShW], les courbes simples l_{+}^{1}[x_{i}, x_{j}] ∪ [l_{+}^{1}(x_{i}), l_{+}^{1}(x_{j})] et l_{+}^{2}[y_{i}, y_{j}] ∪ [l_{+}^{2}(y_{i}), l_{+}^{2}(y_{j})] bordent un anneau a_{ε} (cf. figure 15) tel que i(∂a_{ε}, λ) ≤ ε. Comme les vecteurs \frac{d}{dt}l_{+}^{1}(x_{i}) et \frac{d}{dt}l_{+}^{1}(x_{j}) sont dirigés du même côté de μ_{+}, pour ε′ suffisamment petit, les courbes simples ∂^{1}a_{ε} = l_{+}^{1}[x_{i}, x_{j}] ∪ [l_{+}^{1}(x_{i}), l_{+}^{1}(x_{j})] et ∂^{2}a_{ε} = l_{+}^{2}[y_{i}, y_{j}] ∪ [l_{+}^{2}(y_{i}), l_{+}^{2}(y_{j})] sont des quasi géodésiques de ∂M. Soit ã_{ε} ⊂ M̃ un relevé de a_{ε} et ˜∂^{1}a_{ε} et ˜∂^{2}a_{ε} les deux composantes de son bord. Comme ˜∂^{j}a_{ε} est une quasi-géodésique de ∂M̃, elle est uniformément proche (en fonction de ε′) d’une géodésique c̃^{j} de ∂M̃. L’hypothèse d(l_{+}^{1}(x_{i}), l_{+}^{2}(y_{i})) > η entraîne donc que c̃^{1} ≠ c̃^{2} et que a_{ε} est un anneau essentiel.

Dans le cas II, comme α^{1} n’est pas une géodésique fermée, pour ε′ < ζ(λ), i([l_{+}^{1}(x_{i}), l_{+}^{2}(y_{j})], λ) ≤ \frac{ε}{2} et i([l_{+}^{2}(y_{i}), l_{+}^{1}(x_{j})], λ) ≤ \frac{ε}{2}. La courbe γ = l_{+}^{1}[x_{i}, x_{j}] ∪ [l_{+}^{1}(x_{i}), l_{+}^{2}(y_{i})] ∪ l_{+}^{2}[y_{i}, y_{j}] ∪ [l_{+}^{2}(y_{j}), l_{+}^{1}(x_{i})] borde un ruban de Möbius a_{ε} (éventuellement singulier) tel que i(∂a_{ε}, λ) ≤ ε. Pour les raisons évoquées dans le premier cas, ce ruban de Möbius est essentiel. Comme M est orientable, il existe deux copies disjointes de γ et ces deux copies bordent un anneau (éventuellement singulier). D’après [ShW], ces deux copies bordent un anneau non singulier a_{2ε} tel que i(λ, ∂a_{2ε}) ≤ 2ε.

On a montré dans les deux cas que pour tout ε, il existe un anneau essentiel a tel que i(∂a, λ) ≤ ε ce qui contredit la condition b_{2}).

ii) Afin de montrer b_{1}) => b_{2}) par l’absurde, nous allons prouver un résultat un peu plus fort qui nous sera utile par la suite. Une limite géométrique de bords d’anneaux n’est pas toujours annulaire, toutefois, on a :

Lemme C.2. Soit λ une lamination géodésique mesurée qui satisfait la condition c) et intersecte transversalement toutes les courbes paraboliques ; soit (α_{n}) une suite de multi-courbes telle que α_{n} borde un anneau ou un ruban de Möbius essentiel et que (α_{n}) converge géométriquement vers une lamination géodésique α qui n’intersecte pas λ; alors α est annulaire (en particulier λ n’est pas annanulaire).

Démonstration. Notons S(α) la réunion des surfaces embrassées par les composantes connexes de α.

Si S(α) est incompressible et ne contient pas de courbes paraboliques ; alors les α_{n} sont des laminations annulaires. Soient S̃(α) ⊂ ∂M̃ un relevé de S(α) et F̃ un domaine fondamental pour l’action de π_{1}(S(α)) sur S̃(α). Soient l̃_{n}^{1} et l̃_{n}^{2} deux feuilles biasymptotes de p^{−1}(α_{n}) telles que l̃_{n}^{1} intersecte F̃; quitte à extraire, on peut supposer que la suite (l_{n}^{1}) converge vers un relevé l̃^{1} d’une feuille l^{1} de α. D’après l’affirmation 2.2, quitte à extraire, les l̃_{n}^{1} (respectivement l̃_{n}^{2}) sont contenus dans un même relevé S̃(α) ⊂ ∂M̃ (respectivement S̃(α)′). Comme les bouts des l̃_{n}^{2} convergent vers les bouts de l̃^{1} ⊂ S̃(α), alors la suite (l̃_{n}^{2}) converge vers le relevé l̃^{2} ⊂ S̃(α)′ d’une feuille l^{2} de α qui a les mêmes bouts que l̃^{1}. Si S̃(α) = S̃(α)′ alors l̃_{n}^{1} et l̃_{n}^{2} sont contenus dans S̃(α). Mais ceci contredit le fait que l’adhérence de S̃(α) dans \overline{M̃} est un disque (affirmation 2.1) donc S̃(α) ≠ S̃(α)′ et l̃^{2} ≠ l̃^{1}. On en déduit que α est une lamination géodésique annulaire.

Si S(α) est compressible ou contient une courbe parabolique, d’après le lemme 3.2, il existe une multi-courbe γ par rapport à laquelle α est en position prétendue et telle que γ contient un système admissible de méridiens μ ou une courbe parabolique μ (la suite de la preuve étant la même dans les deux cas, on a donné le même nom au système admissible et à la courbe parabolique). Comme α est en position prétendue par rapport à γ, pour n assez grand ∂a_{n} est également en position prétendue par rapport à γ. D’après le fait 3.4, ∂a_{n} n’est donc pas une courbe parabolique. Si la longueur des composantes de ∂a_{n} − γ n’est pas bornée ; il existe une suite d’arcs (k_{n}) ⊂ ∂a_{n} − γ tels que l(k_{n}) ⟶ ∞. Un valeur d’adhérence pour la topologie de Hausdorff de cette suite d’arcs contient une lamination géodésique qui n’intersecte pas γ, ce qui contredit le fait que α est en position prétendue par rapport à γ. Il existe donc une constante K qui majore la longueur des composantes de ∂a_{n} − γ. Soit μ^{1} une composante de μ; d’après les hypothèses faîtes sur λ, λ intersecte transversalement μ^{1}. Comme α n’intersecte pas λ transversalement, λ ∩ S(α) ⊂ α. Une composante minimale de α intersecte donc μ^{1} transversalement. Soient l une feuille de cette composante minimale (en particulier l est une feuille récurrente de α qui intersecte μ^{1} transversalement) et l̃ un relevé de l à ∂M̃, notons (γ̃_{j})_{j∈ℤ} les composantes de p^{−1}(γ) que l̃intersecte successivement. Notons l̃[−t, t] le segment de l̃qui joint γ̃_{−t} et γ̃_{t}. Comme ∂a_{n} converge géométriquement vers α, pour n assez grand une composante ∂^{1}ã_{n} de p^{−1}(∂a_{n}) intersecte γ̃_{−t} et γ̃_{t} et ∂^{1}ã_{n}[−t, t] converge pour la topologie de Hausdorff vers l̃[−t, t]. Soit ã_{n} le relevé de a_{n} bordé par ∂^{1}ã_{n}; montrons que ∂^{2}ã_{n} = ∂ã_{n} − ∂^{1}ã_{n} intersecte aussi γ̃_{t} et γ̃_{−t}.

Comme les arguments sont les mêmes pour γ̃_{t} et γ̃_{−t}, nous allons le montrer seulement pour γ̃_{t}. D’après le fait B.3, ∂a_{n} est en position prétendue par rapport à μ. Si p(γ̃_{t}) ⊂ μ, alors, de la preuve du fait 3.4, on déduit que γ̃_{t} sépare les deux bouts de ∂^{1}ã_{n} et donc que ∂^{2}ã_{n} intersecte γ̃_{t}. Si p(γ̃_{t}) n’est pas un méridien ni une courbe parabolique, comme l est récurrente et intersecte μ^{1} transversalement, il existe γ̃_{t_{1}} et γ̃_{t_{2}} tels que t_{1} < t < t_{2} et que pour s ⊂ [t_{1}, t_{2}], p(γ̃_{s}) ⊂ μ ⇔ s ⊂ {t_{1}, t_{2}}. Pour n assez grand, ∂^{1}ã_{n} intersecte γ̃_{t_{1}} et γ̃_{t_{2}}, donc ∂^{2}ã_{n} les intersectent aussi et les composantes bornées k^{1} et k^{2} de ∂^{1}ã_{n} − (γ̃_{t_{1}} ∪ γ̃_{t_{2}}) et ∂^{2}ã_{n} − (γ̃_{t_{1}} ∪ γ̃_{t_{2}}) sont homotopes dans M̃ relativement à γ̃_{t_{1}} ∪ γ̃_{t_{2}}. Notons S′ la surface obtenue en découpant S le long de μ et en recollant le long de chaque composante de bord ainsi formée un disque de M qu’elle borde. Comme μ est une système admissible, la surface S′ ainsi construites est soit une sphère, soit une surface incompressible. D’après la remarque qui suit le lemme 3.1, si S′ est une sphère, on peut prendre γ = μ et l’étude précédente du cas p(γ̃_{t}) ⊂ μ suffit pour conclure. Si S′ est une surface incompressible, k^{1} et k^{2} sont homotopes dans p^{−1}(S′) relativement à γ̃_{t_{1}} ∪ γ_{t_{2}}. Comme γ ne contient pas d’arc de compression vers α, si γ̃_{t} intersecte k^{1}, alors il intersecte aussi k^{2}.

On vient de prouver que ∂^{2}ã_{n} intersecte aussi γ̃_{−t} et γ̃_{t}; comme la longueur de ∂^{2}ã_{n}[−t, t] est plus petite que 2tK, alors, quitte à extraire, ∂^{2}ã_{n}[−t, t] converge pour la topologie de Hausdorff vers un arc l̃′[−t, t] ⊂ p^{−1}(α). En faisant tendre t vers l’infini, on en déduit que l̃ et l̃′ ont les deux mêmes bouts.

Si l̃ = l̃′, alors pour n assez grand ∂^{1}ã_{n} et ∂^{2}ã_{n} intersectent un ε-voisinage de l̃. Il existe donc un petit segment Ĩ_{n} ⊂ ∂M̃ qui joint les deux composantes du bord de ã_{n} avec Ĩ_{n} ∩ ã_{n} = ∂Ĩ_{n}. La projection de Ĩ_{n} sur ∂M est un arc de compression sur a_{n} et par chirurgie de a_{n} le long de cet arc, on obtient un disque essentiel D_{n} disjoint de a_{n} et dont le bord est homotope à une courbe contenue dans un ε-voisinage de a_{n}. Quitte à extraire, ∂D_{n} converge géométriquement vers une lamination géodésique ν ∈ M_{gom} et d’après le critère de Casson, ν possède une feuille homoclinique. Comme ∂a_{n} converge géométriquement vers α et que D_{n} est disjoint de a_{n}, alors ν n’intersecte pas α; comme ∂D_{n} peut être homotopé dans un ε-voisinage de ∂a_{n}, alors pour i assez grand, ∂D_{n} est disjoint de λ − α. On en déduit que ν n’intersecte pas λ et en particulier qu’il existe une feuille homoclinique disjointe de λ ce qui contredit l’affirmation 3.3.

Si l̃∩ l̃′ = ∅, alors l̃ et l̃′ sont biasymptotes et α est annulaire.

Achevons maintenant la preuve du ii). Soit λ une lamination géodésique mesurée qui satisfait la condition c) et intersecte transversalement toutes les courbes paraboliques. Supposons que λ ne vérifie pas b_{2}), il existe alors une suite (a_{n}) d’anneaux ou de rubans de Möbius essentiels telle que i(a_{n}, λ) ⟶ 0. Quitte à extraire, (∂a_{n}) converge géométriquement vers une lamination géodésique α qui n’intersecte pas λ transversalement. D’après l’affirmation précédente, α est annulaire, ce qui contredit b_{1}).

Lemme C.3. Soit λ une lamination vérifiant les conditions a) et c) ; alors les conditions b_{1}), b_{2}) sont équivalentes à la condition suivante : b) l’intersection des adhérences dans \overline{B̃} de deux composantes connexes du complémentaire de p^{−1}(λ) dans ∂M̃ est soit vide, soit l’adhérence d’une feuille l̃⊂ p^{−1}(λ) dont la projection sur ∂M est une feuille fermée l.

Démonstration. i) Montrons par l’absurde que b) => b_{1}). Soit λ une lamination géodésique mesurée qui satisfait les conditions a) et c) et intersecte toutes les courbes paraboliques. Supposons qu’il existe une lamination géodésique annulaire α qui n’intersecte pas λ. Nous allons en déduire que λ ne vérifie pas b). Soient l̃^{1}, l̃^{2} une paire de géodésiques biasymptotes contenues dans un relevé de α; l̃^{1} et l̃^{2} sont contenues dans les adhérences F̃^{1} et F̃^{2} de deux composantes de ∂M̃ − p^{−1}(λ). Si F̃^{1} = F̃^{2} alors F̃^{1} contient une paire de géodésiques biasymptotes, à savoir l̃^{1} et l̃^{2}. Si F̃^{1} ≠ F̃^{2}, d’après la condition b), F̃^{1} ∩ F̃^{2} est une géodésique c̃ qui joint les bouts de l̃^{1} ; on a alors l̃^{1} ≠ c̃ ou l̃^{2} ≠ c̃ donc F̃^{1} ou F̃^{2} contient une paire de géodésiques biasymptotes, à savoir l̃^{1} et c̃ ou l̃^{2} et c̃. Dans les deux cas, on peut donc supposer que F̃^{1} contient deux géodésiques biasymptotes l̃^{3} et l̃^{4}. Si les demi-géodésiques l̃_{+}^{3} et l̃_{+}^{4} ainsi que l̃_{−}^{3} et l̃_{−}^{4} sont asymptotes dans F̃^{1}, on peut alors, comme dans la preuve du i) de la proposition 3, construire un méridien μ ⊂ F^{1} ce qui contredit c). Sinon F̃^{1} contient une géodésique homoclinique ce qui contredit l’affimation 3.3 et donc c).

ii) Montrons enfin b_{1}) => b). On pourrait montrer que la condition b) est naturellement satisfaite par la lamination mesurée de plissage d’une métrique géométriquement finie. Comme la propriété b) ne sera pas utilisée dans la preuve du théorème 1, cette implication b_{1}) => b) peut alors être déduite du théorème 1. Nous allons néanmoins en donner, ici, brièvement, une preuve directe. Soient λ une lamination géodésique mesurée qui vérifie les conditions a), b_{1}) et c) (et donc b_{2}) d’après la proposition 3), F̃^{1} et F̃^{2} deux composantes de ∂M̃ − p^{−1}(λ) dont les adhérences s’intersectent et F^{j} la projection de F̃^{j} sur ∂M. Les adhérences de F̃^{1} et F̃^{2} contiennent alors deux demi géodésiques l̃_{+}^{1} et l̃_{+}^{2} dont les adhérences s’intersectent. Si l_{+}^{1} et l_{+}^{2} ne sont pas proprement homotopes sur ∂M, en appliquant la méthode utilisée dans la preuve du ii) du lemme C.1, on construit dans un voisinage de l_{+}^{1} ∪l_{+}^{2} une suite d’anneaux ou de rubans de Möbius essentiels a_{i} avec i(λ, ∂a_{i}) ⟶ 0, mais on ne peut ici garantir que ∂a_{i} est plongé. Le théorème de l’anneau ([Ja]) nous permet néammoins d’en déduire une suites d’anneaux essentiels a′_{i} telle que i(λ, ∂a′_{i}) ⟶ 0, ce qui contredit b_{2}). Les demi-feuilles l̃_{+}^{1} et l̃_{+}^{2} se relèvent donc au revêtement universel ℍ^{2} de la composante de ∂M qui les contient en deux demi-géodésiques asymptotes. Deux telles courbes ne pouvant être séparées que par une feuille isolée de λ, on en déduit que F̃^{1} ∩ F̃^{2} contient une feuille c̃ de ce type. La projection c = p(c̃) de cette feuille est donc une feuille fermée et comme le support de λ est une lamination récurrente, ceci entraîne que ni F̃^{1} ni F̃^{2} n’est un triangle. Si F̃^{1} ∩ F̃^{2} contient un autre point, alors F̃^{1} ∩ F̃^{2} contient une paire de feuilles biasymptotes, ce qui contredit la condition b_{1}), F̃^{1} et F̃^{2} vérifient donc la condition b).

Lemme 3.5 Si λ est une lamination géodésique mesurée qui satisfait aux conditions b_{1}) et c), alors elle a la propriété suivante :

– c_{1}) toute feuille homoclinique l qui est contenue dans une limite géométrique de courbes simples vérifie i(l, λ) > 2π.

Démonstration. Soient l une feuille homoclinique telle que i(λ, l) ≤ 2π, l̃ un relevé de l dans ∂M̃, l_{+} et l_{−} deux demi-feuilles de l̃ qui n’intersectent pas de relevé de feuille fermée de λ et telles que l_{+} ∩ l_{−} = ∅. Notons α_{+} et α_{−} les minimaux contenus dans l̄_{+} et l̄_{−}. Munissons α_{+} et α_{−} d’une mesure transverse de support α_{+} ∪ α_{−}.

Montrons tout d’abord que α_{+} et α_{−} n’intersectent pas λ. Sinon, on a i(λ, α_{+}) > 0. Soit I un segment de α_{+} tel que i(I, λ) > 0 ; alors, comme α_{+} ⊂ l̄_{+}, l_{+} contient une infinité de segments proches de I et i(l, λ) = +∞, ce qui contredit l’hypothèse de départ.

D’après ce qui précède, quitte à les raccourcir, on peu supposer l_{+} et l_{−} disjointes de λ. Comme λ satisfait la condition b_{1}), les arguments de la preuve du ii) de la proposition 4, montrent que inf_{t} d(l_{+}(t), l_{−}(t)) = 0. Il existe donc une suite de segment I_{n} dont la longueur tend vers 0 et qui joignent l_{+} à l_{−}. Si l est dans une limite géométrique de courbes simples, pour i assez grand, I_{n} n’intersecte pas de relevé de feuille fermées de λ et i(I_{n}, λ) ⟶ 0. Ceci nous permet de conclure que pour n assez grand, la projection de la réunion de I_{n} et de l’arc de l qui joint ses deux extrémités est homotope à un méridien μ_{n} tel que i(λ, μ_{n}) ≤ 2π ce qui contredit la condition c).

Références

[Be] A.F. Beardon, The geometry of discrete groups, Graduate Texts in Mathematics 91 (1983).

[Bo1] F. Bonahon, Cobordism of autmorphisms of surfaces, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup., IV. Ser. 16 (1983), 451-466.

[Bo2] F. Bonahon, Bouts des variétés hyperboliques de dimension 3, Ann. of Math. (2) 124 (1986), 71-158.

[Bo3] F. Bonahon, Closed curves on surfaces, prépublication (1999).

[Bo4] F. Bonahon, Variations of the boundary of 3-dimensionnal hyperbolic convex cores, J. Diff. Geom. 50 (1998), 1-24.

[BoO] F. Bonahon, J.-P. Otal, Laminations mesurées de plissage des variétés hyperboliques de dimension 3, Prépublication de l’UMPA n^{∘}285 (2001).

[Ca] R.D. Canary, A covering theorem for hyperbolic 3-manifolds and its applications, Topology 35 (1996), 751-778.

[CaB] A.J. Casson, S.A. Bleiler, Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston, London Mathematical Society Student Texts 9 (1988).

[CEG] R.D. Canary, D.B.A. Epstein, P. Green, Notes on notes of Thurston, Analytical and Geometrical Aspects of hyperbolic Space (1987), 3-92.

[CuM] M. Culler, J.W. Morgan, Group actions on ℝ-trees, Proc. Lond. Math. Soc. 55 (1987), 571-604.

[EpM] D.B.A. Epstein, A.Marden, Convex hulls in hyperbolic space, a theorem of Sullivan, and measured pleated surfaces, Analytical and Geometric Aspects of Hyperbolic Space (1987), 113-253.

[FLP] A. Fathi, F. Laudenbach, V. Ponearu, Travaux de Thurston sur les surfaces. Seminaire Orsay, Asterisque No.66-67 (1979).

[Fl] W. J. Floyd, Group completions and limit sets of kleinian groups, Invent. Math. 57 (1980), 205-218.

[He] J. Hempel, 3-Manifolds, Annals of Mathematics Studies 86 (1976).

[Ja] W. Jaco, Lectures on three-manifold topology, (1980)

[JaS] W. Jaco, P.B. Shalen, Seifert fibered spaces in 3-manifolds, Memoirs Amer. Math. Soc. 220 (1979).

[Jo] K. Johannson, Homotopy equivalence of 3-manifolds with boundary, Lectures Notes in Mathematics 761 (1979).

[JoM] T. Jørgensen, A. Marden, Algebraic and geometric convergence of Kleinian groups, Math. Scand. 66 (1990), 47-72.

[Ka] M. Kapovitch, Hyperbolic manifolds and discrete groups, Progress in Mathematics 183 (2000).

[KeS] L. Keen, C. Series, Continuity of convex hull boundaries, Pac. J. Math. 127 (1988), 457-519.

[KlS] G. Kleineidam, J. Souto, Algebraic convergence of function groups, à paraître dans Com. Math. Helv.

[Ma] A. Marden, The geometry of finitely generated Kleinian groups, Ann. of Math. 99 (1974), 383-462.

[MaT] K. Matsuzaki, M. Taniguchi, Hyperbolic Manifolds and Kleinian Groups (1998).

[MoO] J.W. Morgan, J.-P. Otal, Relative growth rates of closed geodesics on surfaces under varying hyperbolic structures, Comment. Math. Helv., 68 (1993), 171-208.

[MoS1] J.W. Morgan, P.B. Shalen, Degenerations of Hyperbolic structures I : Valuations, trees and surfaces, Ann. of Math., 120 (1984), 401-476.

[MoS2] J.W. Morgan, P.B. Shalen, Degenerations of Hyperbolic structures III : actions of 3-manifolds groups on trees and Thurston’s compctness theorem, Ann. of Math. 127 (1988), 457-519.

[Ot1] J.-P. Otal, Courants géodésiques et produits libres, Thèse d’Etat, Université Paris-Sud, Orsay (1988).

[Ot2] J.-P. Otal, Sur la dégénérescence des groupes de Schottky, Duke Math. J. 74 (1994), 777-792.

[Ot3] J.-P. Otal, Le théorème d’hyperbolisation pour les variétés fibrées de dimension 3, Astérisque 235 (1996).

[OtP] J.-P. Otal, F. Paulin, Géométrie hyperbolique et groupes Kleiniens, manuscrit non publié.

[Pa] F. Paulin, Topologie de Gromov équivariante, structures hyperboliques et arbres réels, Invent. Math. 94 (1988), 53-80.

[Ro] C. Rourke, Convex ruled surfaces, Analytical and Geometric Aspects of Hyperbolic Space (1987), 255-272.

[Se] C. Series, On Kerckhoff minima and pleating varieties for quasifuchsian groups II, en préparation.

[ShW] A. Shapiro, J.H.C. Whitehead, A proof and exrension of Dehn’s lemma, Bull. Amer. Math. Soc. 64 (1958), 174-178.

[Sk] R.K. Skora, Splitting of surfaces, Bull. Amer. Math. Soc. 23 (1990), 85-90.

[Th1] W.P. Thurston, The topology and geometry of 3-manifolds, Notes de cours, Université de Princeton, 1976-79.

[Th2] W.P. Thurston, On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, Bull. Am. Math. Soc. 19 (1988), 417-431.

[Th3] W.P. Thurston, Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry, Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1986), 357-381.

[Th4] W.P. Thurston, Hyperbolic structures on 3-manifolds, III : Deformations of 3-manifolds with incompressible boundary, manuscrit non publié (1986).

[Wa1] F. Waldhausen, Eine Verallgemeinerung des Schleifensatzes, Topology 6 (1967), 501-504.

[Wa2] F. Waldhausen, Heegard-Zerlegungen der 3-Sphäre, Topology 7 (1968), 195-203.

[Wa3] F. Waldhausen, On irreductible 3-manifolds which are sufficiently large, Ann. Math. 87 (1968), 56-88.

Unité de mathématiques pures et appliquées ENS LYON, 46 allée d’Italie, 69364 LYON, FRANCE Adresse électronique : clecuire@umpa.ens-lyon.fr